Загрузка заданий...

Вариант 2701 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Старая	Николаево	Зябликово
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.

Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.

От Осиновка до Старая: 21 клеток · 1 км = 21 км.

От Старая до Николаево: 20 клеток · 1 км = 20 км.

Складываем: 21 + 20 = 41 км.

Ответ: 41.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 20 клеток, по вертикали 21 клетка.

Значит, катеты равны 20 км и 21 км.

Это треугольник со сторонами 20–21–29, поэтому расстояние по прямой равно 29 км.

Ответ: 29.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 29 км.

Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 29 / 10 ч.

В минутах это 174 мин.

Ответ: 174.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Осиновка	Николаево	Зябликово	Старая
Молоко (1 л)	42	49	52	48
Хлеб (1 батон)	27	29	32	38
Сыр «Российский» (1 кг)	259	250	255	264
Говядина (1 кг)	328	318	324	319
Картофель (1 кг)	34	19	24	30

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216

Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147

Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199

Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.

Ответ: 1 147.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{4} : \frac{5}{9} + \frac{3}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{4} : \frac{5}{9} + \frac{3}{4}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{4}) : \frac{5}{9} = \frac{27}{20}$.

Шаг 2: $(\frac{27}{20}) + \frac{3}{4} = \frac{21}{10}$.

Получили дробь $\frac{21}{10}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $2,1$.

Ответ: $2,1$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

7 - a < 0

a > 6

6 - a > 0

$\frac{1}{a} < 0$

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 6 < a < 7.

Проверим варианты ответа:

1) 7 - a < 0 ⇔ a > 7 — неверно.

2) a > 6 ⇔ a > 6 — верно.

3) 6 - a > 0 ⇔ a < 6 — неверно.

4) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√5 - 1)(√5 + 1).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√5)² - 1² = 5 - 1 = 4.

Ответ: 4.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 4 + 5(7x - 1) = -8x + 214

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: 4 + 5(7x - 1) = -8x + 214

Раскроем скобки:

4 + 5(7x - 1) = -8x + 214

4 + 35x - 5 = -8x + 214

Приведём подобные слагаемые в левой части:

35x - 1 = -8x + 214

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

43x = 215

Разделим обе части на 43:

x = 215 / 43

x = 5

Ответ: 5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,5.

Ответ: 0,5

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \dfrac{4}{5}x + 2$

Б) $y = -2x^2 - 6x + 1$

В) $y = \dfrac{1}{10x}$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 8 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 235,2 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).

m = 235,2/(9,8·8) = 3.

Ответ: 3.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² < 36

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Из неравенства x² < 36 получаем границы x = ±6. Верное решение: (-6;6). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -7° C.

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Температура уменьшается равномерно на 5° C в минуту.

Через 4 минут изменение составит 5·4 = 20° C.

Итоговая температура: -7 - 20 = -27.

Ответ: -27.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 167°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.

Поэтому он равен 180° - 167° = 13°.

Ответ: 13.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 7, BC = 24, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.

По теореме Пифагора AB = 25.

Следовательно, R = AB / 2 = 25 / 2 = 12,5.

Ответ: 12,5.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.

sin 150° = $\frac{1}{2}$.

h = 34 · $\frac{1}{2}$ = 17.

Ответ: 17.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок BM длиннее отрезка AM?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.

M делит AB: вектор AM=(1,2)=$\frac{1}{3}$·AB=(3,6). AM=$\frac{1}{3}$·AB, BM=$\frac{2}{3}$·AB. BM=2·AM.

Ответ: 2.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно: сумма всех углов 180°.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-7)^2<\sqrt{11}(x-7)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести общий множитель $(x-7)$.

Шаг 1. Перенесём $\sqrt{11}(x-7)$ влево:

$(x-7)^2-\sqrt{11}(x-7)<0$.

Шаг 2. Выносим $(x-7)$ за скобку:

$(x-7)\bigl[(x-7)-\sqrt{11}\bigr]<0$.

Шаг 3. Находим нули: первый множитель обращается в 0 при $x=7$, второй — при $x=7+\sqrt{11}$.

Шаг 4. Произведение двух линейных множителей отрицательно строго между их корнями.

Ответ: $(7;\; 7+\sqrt{11})$.

Правильный ответ: (7;7+√11)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 141 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 6 км/ч, за 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).

Шаг 1. Поезд и пешеход движутся в одном направлении. Относительная скорость:

141 − 6 = 135 км/ч.

Шаг 2. Переводим в м/с: 135 × 1000 / 3600 = $\frac{75}{2}$ м/с.

Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 12 с, значит его длина:

$\frac{75}{2}$ × 12 = 450 м.

Ответ: 450.

Правильный ответ: 450

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+1)((x-2))}{2-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+1),\ x\ne 2 $.

После преобразования получаем параболу $ y=-(x^2+a) $ с выколотой точкой при $ x=2 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-2,5; -2; 2 $.

Ответ: $ -2,5; -2; 2 $.

Правильный ответ: -2,5; -2; 2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 6, CK = 16.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.

Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.

Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).

Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.

Шаг 2. AB = BK = 6.

Шаг 3. BC = BK + CK = 6 + 16 = 22.

Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(6 + 22) = 56.

Ответ: 56.

Правильный ответ: 56

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота от K до AB равна среднему арифметическому высот от C и D.

Шаг 1. Пусть hC и hD — расстояния от C и D до прямой AB. K — середина CD,

поэтому высота hK = (hC + hD)/2.

Шаг 2. S(△KAB) = AB·hK/2 = AB·(hC+hD)/4.

Шаг 3. S(трапеции) = (AD+BC)·h/2; при AB = AD: S = AB·(hC+hD)/2.

Значит S(△KAB) = S(трапеции)/2. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Окружности радиусов 22 и 99 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.

Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=22 и R=99.

O₁O₂ = r + R = 121 (внешнее касание).

Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.

Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.

Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).

Аналогично CD ⊥ O₁O₂.

Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.

По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(99·22) = 2√2178 = 66√2.

Ответ: 66√2.

Правильный ответ: 66√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.