Загрузка заданий...

Вариант 2726 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Саша летом отдыхает у дедушки в деревне Масловка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Захарово в магазин. Из деревни Масловка в село Захарово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Вёсенка до деревни Полянка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Захарово. Есть и третий маршрут: в деревню Вёсенка можно свернуть на прямую тропинку в село Захарово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Саша с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Полянка	Захарово	Вёсенка
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Масловка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Вёсенка, место поворота на другое шоссе — Полянка, конечный пункт — Захарово.

Получаем соответствие: Масловка — 1, Вёсенка — 2, Полянка — 4, Захарово — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Полянка, Захарово, Вёсенка.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Саша с дедушкой от деревни Масловка до села Захарово, если они поедут по шоссе через деревню Полянка?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Масловка до Полянка и от Полянка до Захарово.

От Масловка до Полянка: 20 клеток · 1 км = 20 км.

От Полянка до Захарово: 15 клеток · 1 км = 15 км.

Складываем: 20 + 15 = 35 км.

Ответ: 35.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Масловка до села Захарово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 15 клеток, по вертикали 20 клеток.

Значит, катеты равны 15 км и 20 км.

Это треугольник со сторонами 15–20–25, поэтому расстояние по прямой равно 25 км.

Ответ: 25.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Масловка в село Захарово Саша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 25 км.

Скорость по лесной дорожке — 15 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 25 / 15 ч.

В минутах это 100 мин.

Ответ: 100.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Масловка	Захарово	Вёсенка	Полянка
Молоко (1 л)	43	49	50	45
Хлеб (1 батон)	27	41	31	26
Сыр «Российский» (1 кг)	272	279	269	277
Говядина (1 кг)	354	343	339	336
Картофель (1 кг)	26	18	19	32

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Масловка, селе Захарово, деревне Вёсенка и деревне Полянка. Саша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Масловка: 2·43=86 + 3·27=81 + 2·354=708 + 4·26=104 + 1·272=272 = 1 251

Захарово: 2·49=98 + 3·41=123 + 2·343=686 + 4·18=72 + 1·279=279 = 1 258

Вёсенка: 2·50=100 + 3·31=93 + 2·339=678 + 4·19=76 + 1·269=269 = 1 216

Полянка: 2·45=90 + 3·26=78 + 2·336=672 + 4·32=128 + 1·277=277 = 1 245

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Вёсенка": 1 216 руб.

Ответ: 1 216.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{10}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{6}{5}) \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{15}$.

Шаг 2: $(\frac{2}{15}) \cdot \frac{3}{10} = \frac{1}{25}$.

Получили дробь $\frac{1}{25}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,04$.

Ответ: $0,04$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

$\frac{1}{a} > 0$

a < -4

a + 3 > 0

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что -4 < a < -3.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — верно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) a < -4 ⇔ a < -4 — неверно.

4) a + 3 > 0 ⇔ a > -3 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3^{-1} \cdot (3^2)^3$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 3^(-1) · (3^2)^3.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (3^2)^3 = 3^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 3^-1 · 3^6 = 3^5.

Получаем 3^5 = 243.

Ответ: 243.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 9x + 20 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² - 9x + 20 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -9, c = 20.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -9² - 4·1·20 = 1.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (9 - √1) / 2 = 4

x₂ = (9 + √1) / 2 = 5

Ответ: 4;5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события A.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,6.

Ответ: 0,6

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a < 0, c > 0

Б) a > 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 5,5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 121 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 121/(5,5²) = 4.

Ответ: 4.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

6x - x² > 0

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Разложим: 6x - x² = x(6 - x). Нули: 0 и 6. Верное решение: (0;6). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,4 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,6 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 8 секунд движения?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,4, d = 0,6, n = 8.

Сумма первых 8 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 20.

Ответ: 20.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 13 и 4. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 13 · 4 = $\frac{52}{2}$ = 26.

Ответ: 26.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 4√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 4√2 = 8√2.

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 8√2 · √2 = 16.

Ответ: 16.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 8 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.

Больший отрезок равен 19 / 2 = 9,5.

Ответ: 9,5.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 4 и 6.

S = 4 · 6 / 2 = 12.

Ответ: 12.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 2.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-14}{(x-5)^2-2}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-14<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x-5)^2-2<0$.

Шаг 2. $(x-5)^2<2$.

Шаг 3. $-\sqrt{2}<x-5<\sqrt{2}$.

Шаг 4. Прибавляем 5: $5-\sqrt{2}<x<5+\sqrt{2}$.

Ответ: $(5-\sqrt{2};\; 5+\sqrt{2})$.

Правильный ответ: (5-√2;5+√2)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 5) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: первым — 180/x ч, вторым — 180/(x−5) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:

180/(x−5) − 180/x = 3.

Шаг 4. Умножаем на x(x−5):

180·x − 180·(x−5) = 3·x·(x−5).

900 = 3·x² − 15·x.

3x² − 15x − 900 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 15² + 4·3·900 = 225 + 10800 = 11025, √D = 105.

x = (15 + 105) / (2·3) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первый — 180/20 = 9 ч, второй — 180/15 = 12 ч.

12 − 9 = 3 = 3. ✓

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+4)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+4),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-5; -4; 4 $.

Ответ: $ -5; -4; 4 $.

Правильный ответ: -5; -4; 4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 8 и CH = 2. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 8 + 2 = 10.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 10 и катетом DH = 8.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(10² − 8²) = √(36) = 6.

Ответ: 6.

Правильный ответ: 6

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).

Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).

Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.

Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 50° и 40°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 10 и 7. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 50° + 40° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 10 и 7.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 10 и (b-a)/2 = 7 (или наоборот).

a+b = 20, b-a = 14.

b = 17, a = 3.

Ответ: 3; 17.

Правильный ответ: 3; 17

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.