Загрузка заданий...

Вариант 2918 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Новая	Абрамово	Таловка
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.

Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.

Следовательно, ответ: 324.

Ответ: 324

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.

От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.

От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.

Складываем: 32 + 24 = 56 км.

Ответ: 56.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 24 км и 32 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.

Ответ: 40.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 40 км.

Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.

В минутах это 200 мин.

Ответ: 200.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Грушёвка	Абрамово	Таловка	Новая
Молоко (1 л)	47	54	58	51
Хлеб (1 батон)	39	24	43	27
Сыр «Российский» (1 кг)	258	244	251	255
Говядина (1 кг)	335	333	325	324
Картофель (1 кг)	17	27	22	21

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Грушёвка: 2·47=94 + 3·39=117 + 2·335=670 + 4·17=68 + 1·258=258 = 1 207

Абрамово: 2·54=108 + 3·24=72 + 2·333=666 + 4·27=108 + 1·244=244 = 1 198

Таловка: 2·58=116 + 3·43=129 + 2·325=650 + 4·22=88 + 1·251=251 = 1 234

Новая: 2·51=102 + 3·27=81 + 2·324=648 + 4·21=84 + 1·255=255 = 1 170

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 170 руб.

Ответ: 1 170.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,15 + 0,012$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,15 + 0,012$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,15) + 0,012 = 0,162$.

Ответ: $0,162$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел -1, $\frac{11}{8}$, 4, $\sqrt{17}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

-1

$\frac{11}{8}$

$\sqrt{17}$

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -1 ≈ -1

2) $\frac{11}{8}$ ≈ 1,375

3) 4 ≈ 4

4) $\sqrt{17}$ ≈ 4,1231

Точке A соответствует вариант 2.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$6\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{10} \cdot \sqrt{50}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 6√5 · 4√10 · √50.

Перемножим коэффициенты: 6 · 4 = 24.

Подкоренные выражения дают: √5 · √10 · √50 = √(5·10·50) = √(2500) = 50.

Тогда всё выражение равно 24 · 50 = 1200.

Ответ: 1200.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{7}{x - 7} = -1$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: 7/(x - 7) = -1

Область допустимых значений: x != 7.

Умножим обе части уравнения на x - 7:

7 = -1(x - 7)

Раскроем скобки:

7 = -1x + 7

Перенесём число в левую часть:

0 = -1x

x = 0 / -1

x = 0

Проверка ОДЗ: x = 0, x != 7, условие выполняется.

Ответ: 0

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события B.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события B: 3.

$P=3/8=0,375$.

Ответ: 0,375

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a > 0, c > 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 15-минутной поездки.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t = 15 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(15 − 5) = 260.

Ответ: 260.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 4x < 0

x² - 4x > 0

x² - 16 < 0

x² - 16 > 0

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 36 минут пройдёт 4 промежутков по 9 минут.

Тогда масса станет равна 400·($\frac{1}{2}$)^4 = 25 мг.

Ответ: 25.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 4/15, AB = 45. Найдите AC.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.

Значит, AC = AB · sin B = 45 · $\frac{4}{15}$ = 12.

Ответ: 12.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB = 10, BC = 5, CD = 22. Найдите AD.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

Для трапеции ABCD: AB + CD = AD + BC.

AD = AB + CD - BC = 10 + 22 - 5 = 27.

Ответ: 27.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 138°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Большая диагональ ромба биссектрисой его тупого угла.

Следовательно, искомый угол равен 138° / 2 = 69°.

Ответ: 69.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

По клеткам основания равны 3 и 9, высота равна 4.

S = (3 + 9) / 2 · 4 = 24.

Ответ: 24.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно: вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.

3) Неверно.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $3a-7b+19$, если $\dfrac{3a-2b+3}{2a-3b+3}=3$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $3a-7b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $3a-2b+3 = 3(2a-3b+3)$.

Шаг 2. Раскрываем: $3a-2b+3 = 6a-9b+9$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 3a-7b+6$, откуда $3a-7b = -6$.

Шаг 4. Вычисляем: $3a-7b+19 = -6+19 = 13$.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 20 кг получается раствор с концентрацией 57%:

4·x + 16·y = 20·0,57 = 11,4 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 60%:

(x + y)/2 = 0,60 ⟹ x + y = 1,20 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 1,20 − x. Подставляем в (1):

4·x + 16·(1,20 − x) = 11,4

4x + 19,2 − 16x = 11,4

−12x = −7,8 ⟹ x = 0,65.

Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 4·0,65 = 2,6 кг.

Ответ: 2,6.

Правильный ответ: 2,6

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+2,25)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+2,25,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-3; 3; 3,25 $.

Ответ: $ -3; 3; 3,25 $.

Правильный ответ: -3; 3; 3,25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 40, а сторона AC в 1,6 раза больше стороны BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.

Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.

∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).

По двум углам: △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.

По условию AC = 1,6·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.

KP = AK · BC/AC = AK / 1,6 = 40 / 1,6 = 25.

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ пересекаются в точках X и Y, причём точки O₁ и O₂ лежат по одну сторону от прямой XY. Докажите, что прямые O₁O₂ и XY перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. O₁X = O₁Y (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка O₁ равноудалена от X и Y

⟹ O₁ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку XY.

Шаг 2. O₂X = O₂Y (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка O₂ тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая O₁O₂ совпадает с серединным перпендикуляром к XY.

Следовательно, O₁O₂ ⟂ XY. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41, а основание BC равно 16. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 40 + 16... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 9, AB = 40, CD = 41, BC = 16.

Шаг 3. AD = BC + AB = 16 + 40 = 56.

S = (BC + AD)/2 · h = (16 + 56)/2 · 9 = 820.

Ответ: 820.

Правильный ответ: 820

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.