Загрузка заданий...

Вариант 2986 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Саша летом отдыхает у дедушки в деревне Масловка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Захарово в магазин. Из деревни Масловка в село Захарово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Вёсенка до деревни Полянка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Захарово. Есть и третий маршрут: в деревню Вёсенка можно свернуть на прямую тропинку в село Захарово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Саша с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Полянка	Захарово	Вёсенка
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Масловка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Вёсенка, место поворота на другое шоссе — Полянка, конечный пункт — Захарово.

Получаем соответствие: Масловка — 1, Вёсенка — 2, Полянка — 4, Захарово — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Полянка, Захарово, Вёсенка.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Саша с дедушкой от деревни Масловка до села Захарово, если они поедут по шоссе через деревню Полянка?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Масловка до Полянка и от Полянка до Захарово.

От Масловка до Полянка: 20 клеток · 1 км = 20 км.

От Полянка до Захарово: 15 клеток · 1 км = 15 км.

Складываем: 20 + 15 = 35 км.

Ответ: 35.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Масловка до села Захарово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 15 клеток, по вертикали 20 клеток.

Значит, катеты равны 15 км и 20 км.

Это треугольник со сторонами 15–20–25, поэтому расстояние по прямой равно 25 км.

Ответ: 25.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Масловка в село Захарово Саша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 25 км.

Скорость по лесной дорожке — 15 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 25 / 15 ч.

В минутах это 100 мин.

Ответ: 100.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Масловка	Захарово	Вёсенка	Полянка
Молоко (1 л)	43	49	50	45
Хлеб (1 батон)	27	41	31	26
Сыр «Российский» (1 кг)	272	279	269	277
Говядина (1 кг)	354	343	339	336
Картофель (1 кг)	26	18	19	32

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Масловка, селе Захарово, деревне Вёсенка и деревне Полянка. Саша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Масловка: 2·43=86 + 3·27=81 + 2·354=708 + 4·26=104 + 1·272=272 = 1 251

Захарово: 2·49=98 + 3·41=123 + 2·343=686 + 4·18=72 + 1·279=279 = 1 258

Вёсенка: 2·50=100 + 3·31=93 + 2·339=678 + 4·19=76 + 1·269=269 = 1 216

Полянка: 2·45=90 + 3·26=78 + 2·336=672 + 4·32=128 + 1·277=277 = 1 245

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Вёсенка": 1 216 руб.

Ответ: 1 216.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,03 - \frac{1}{10} + 0,4$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,03 - \frac{1}{10} + 0,4$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,03) - \frac{1}{10} = -0,07$.

Шаг 2: $(-0,07) + 0,4 = 0,33$.

Получили результат $0,33$.

Ответ: $0,33$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из данных чисел принадлежит промежутку от $\frac{5}{4}$ до 3,9?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{27}{25}$

$\frac{1}{5}$

$\frac{43}{10}$

$\sqrt{2}$

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа $\frac{5}{4}$ и 3,9. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 ($\sqrt{2}$) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{3} - 3)(\sqrt{3} + 3)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√3 - 3)(√3 + 3).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√3)² - 3² = 3 - 9 = -6.

Ответ: -6.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 6x + 10 = 28

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: 6x + 10 = 28

Перенесём 10 в правую часть:

6x = 28 - 10

6x = 18

Разделим обе части на 6:

x = 18 / 6

x = 3

Ответ: 3

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 50 чашек: 24 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 26 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{26}{50}$ = 0,52.

Ответ: 0,52.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) $y = -3x - 4$

Б) $y = -2x + 3$

В) $y = x + 4$

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 321.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1200 кг обладает кинетической энергией 15 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 15·1000 = 15 000 Дж.

v = √(2·15 000/1200) = 5.

Ответ: 5.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 0 − 5x > -13 \\ -1,2 − 4x > -15,6 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;2,6). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 16, d = 2, n = 12.

Сначала найдём последний ряд: a12 = 16 + (12 - 1)·2 = 38.

Сумма первых 12 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 12·(16 + 38)/2 = 324.

Ответ: 324.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Высота равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 11√3.

Отсюда a / 2 = 11, значит a = 22.

Ответ: 22.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Окружность касается обоих оснований трапеции.

Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.

h = 2r = 2 · 32 = 64.

Ответ: 64.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 4 и 11, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

m = (4 + 11) / 2 = 7,5.

Ответ: 7,5.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 12 и 2.

S = 12 · 2 / 2 = 12.

Ответ: 12.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Вертикальные углы равны.

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно: такие прямые параллельны между собой.

3) Неверно: они делят прямоугольник на четыре треугольника равной площади, но не обязательно равных как фигуры.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}2x^2+y=4,\\4x^2-y=2.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения, чтобы сократить $y$.

Шаг 1. Складываем:

$(2x^2+y)+(4x^2-y)=4+2\Rightarrow 6x^2=6$.

Шаг 2. Отсюда $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$ из первого уравнения:

$y=4-2x^2=4-2=2$.

Ответ: $(-1;\,2);\ (1;\,2)$.

Правильный ответ: (-1;2);(1;2)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 90 кг получается раствор с концентрацией 42%:

48·x + 42·y = 90·0,42 = 37,8 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 40%:

(x + y)/2 = 0,40 ⟹ x + y = 0,80 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 0,80 − x. Подставляем в (1):

48·x + 42·(0,80 − x) = 37,8

48x + 33,6 − 42x = 37,8

6x = 4,2 ⟹ x = 0,70.

y = 0,80 − 0,70 = 0,10.

Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 42·0,10 = 4,2 кг.

Ответ: 4,2.

Правильный ответ: 4,2

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{7x-6}{7x^2-6x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=6/7 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=6/7 $, откуда $ k=49/36 $.

Ответ: $\frac{49}{36}$.

Правильный ответ: 49/36

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 33, BC = 21, CF : DF = 2 : 1.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 2:1 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 2:1 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (1·21 + 2·33) / (2+1).

Шаг 3. EF = (21 + 66) / 3 = 87 / 3 = 29.

Ответ: 29.

Правильный ответ: 29

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.

Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 12, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 115° и 95°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 115° − 90° = 25°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 95° − 90° = 5°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 25° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 5° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 5° = 85°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 85° − 25° = 60°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(60°) = 12 / sin(60°) = 8√3.

Ответ: 8√3.

Правильный ответ: 8√3

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.