Загрузка заданий...

Вариант 3043 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Старая	Николаево	Зябликово
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.

Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.

От Осиновка до Старая: 21 клеток · 1 км = 21 км.

От Старая до Николаево: 20 клеток · 1 км = 20 км.

Складываем: 21 + 20 = 41 км.

Ответ: 41.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 20 клеток, по вертикали 21 клетка.

Значит, катеты равны 20 км и 21 км.

Это треугольник со сторонами 20–21–29, поэтому расстояние по прямой равно 29 км.

Ответ: 29.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 29 км.

Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 29 / 10 ч.

В минутах это 174 мин.

Ответ: 174.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Осиновка	Николаево	Зябликово	Старая
Молоко (1 л)	42	49	52	48
Хлеб (1 батон)	27	29	32	38
Сыр «Российский» (1 кг)	259	250	255	264
Говядина (1 кг)	328	318	324	319
Картофель (1 кг)	34	19	24	30

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216

Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147

Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199

Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.

Ответ: 1 147.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{50} + 0,1 \cdot \frac{9}{50}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{50} + 0,1 \cdot \frac{9}{50}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,1) \cdot \frac{9}{50} = 0,018$.

Шаг 2: $(\frac{1}{50}) + 0,018 = 0,038$.

Получили результат $0,038$.

Ответ: $0,038$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу $\frac{-61}{16}$. Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\frac{-61}{16}$ по своему значению совпадает с точкой A.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{12}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 5√6 · 5√2 · √12.

Перемножим коэффициенты: 5 · 5 = 25.

Подкоренные выражения дают: √6 · √2 · √12 = √(6·2·12) = √(144) = 12.

Тогда всё выражение равно 25 · 12 = 300.

Ответ: 300.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{6}{x - 5} = 3$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: 6/(x - 5) = 3

Область допустимых значений: x != 5.

Умножим обе части уравнения на x - 5:

6 = 3(x - 5)

Раскроем скобки:

6 = 3x - 15

Перенесём число в левую часть:

21 = 3x

x = 21 / 3

x = 7

Проверка ОДЗ: x = 7, x != 5, условие выполняется.

Ответ: 7

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.85 и 0.15: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.3, по нижнему 0.4.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.85 · 0.3 = 0.255.

Нижний путь: 0.15 · 0.4 = 0.06.

Складываем: 0.255 + 0.06 = 0.315.

Ответ: 0,315

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c < 0

2) a > 0, c > 0

3) a < 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 213.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 4, sinα = 0,333, а S = 10.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·10/(4·0,333) = 15.

Ответ: 15.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x + 0,8 \leqslant -2 \\ 0 − 3x > 5,4 \end{cases}$$

нет решений

(-∞;-2,8]

(-∞;-4,8) ∪ (-2,8;+∞)

(-∞;-4,8)

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;-2,8]. Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 15 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 5 секунд торможения?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 15, d = -3, n = 5.

Сумма первых 5 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5(2·15 + 4·(-3))/2 = 45.

Ответ: 45.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике два угла равны 29° и 57°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

Сумма углов треугольника равна 180°.

Третий угол равен 180° - 29° - 57° = 94°.

Ответ: 94.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 3√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.

Значит, a = 3R / √3 = 3 · 3√3 / √3 = 9.

Ответ: 9.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.

sin 150° = $\frac{1}{2}$.

h = 4 · $\frac{1}{2}$ = 2.

Ответ: 2.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 6 и 8.

m = (6 + 8) / 2 = 7.

Ответ: 7.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

Все углы прямоугольника равны.

Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-3)^2<\sqrt{5}(x-3)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-3)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-3)^2-\sqrt{5}(x-3)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-3)\bigl[(x-3)-\sqrt{5}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=3$ и $x=3+\sqrt{5}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(3;\; 3+\sqrt{5})$.

Правильный ответ: (3;3+√5)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Моторная лодка прошла против течения реки 192 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.

Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.

Скорость против течения: x − 4. По течению: x + 4.

Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 4 ч больше):

192/(x − 4) − 192/(x + 4) = 4.

Шаг 3. Умножаем на (x−4)(x+4) = x²−16:

192(x+4) − 192(x−4) = 4(x²−16).

Шаг 4. Левая часть: 192·2·4 = 1536. Получаем квадратное уравнение:

4x² − 1536 − 64 = 0.

Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 20.

Шаг 6. Проверка: 192/16 = 12 ч, 192/24 = 8 ч, разность 4 ч. ✓

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| - 1\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x - 1.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x - 1.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -1. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -1.

Проверка: при m = -1 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: -1.

Правильный ответ: -1

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.

Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).

Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.

Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.

Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(24² + 7²) = √625 = 25.

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ пересекаются в точках X и Y, причём точки O₁ и O₂ лежат по одну сторону от прямой XY. Докажите, что прямые O₁O₂ и XY перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. O₁X = O₁Y (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка O₁ равноудалена от X и Y

⟹ O₁ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку XY.

Шаг 2. O₂X = O₂Y (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка O₂ тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая O₁O₂ совпадает с серединным перпендикуляром к XY.

Следовательно, O₁O₂ ⟂ XY. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 180 ⟹ a+b = 90.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·1620/90 = 36.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=90 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=36:

a = 18, b = 72.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 36·$\frac{18}{90}$ = 7,2.

Ответ: 7,2.

Правильный ответ: 7,2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.