Загрузка заданий...

Вариант 3171 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.

Стоимость (руб.)	15 000	19 500	18 000
Номер печи

Решение

Разбор: Печь для бани →

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.

2 Задание 2 1 балл

Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.

По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.

Ответ: 50.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$3 \cdot 0,04$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $3 \cdot 0,04$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(3) \cdot 0,04 = 0,12$.

Ответ: $0,12$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу -3,89. Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число -3,89 по своему значению совпадает с точкой B.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4^{-3} \cdot (4^2)^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 4^(-3) · (4^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^2)^2 = 4^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-3 · 4^4 = 4^1.

Получаем 4^1 = 4.

Ответ: 4.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-5}{x + 2} = -5$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: -5/(x + 2) = -5

Область допустимых значений: x != -2.

Умножим обе части уравнения на x + 2:

-5 = -5(x + 2)

Раскроем скобки:

-5 = -5x - 10

Перенесём число в левую часть:

5 = -5x

x = 5 / -5

x = -1

Проверка ОДЗ: x = -1, x != -2, условие выполняется.

Ответ: -1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Всего исходов: 40. Вероятность события $\overline{A} \cap B$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=6/40=0,15$.

Ответ: 0,15

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = 2x - 4$

Б) $y = \sqrt{x}$

В) $y = x^2 - 4$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 11 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 754,6 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).

m = 754,6/(9,8·11) = 7.

Ответ: 7.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² ≤ 64

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Из неравенства x² <= 64 получаем границы x = ±8. Верное решение: [-8;8]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 6,3 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 6,3 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 10 см = 0,1 м.

После 6-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 7-го прыжка уже меньше.

Ответ: 7.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 74°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Другой острый угол равен 90° - 74° = 16°.

Ответ: 16.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 25°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.

Следовательно, ∠ACD = 25°.

Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:

угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.

Получаем ∠ABC = 25° + 41° = 66°.

Ответ: 66.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ прямоугольника образует угол 47° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Каждая диагональ образует с выбранной стороной одинаковый по модулю угол.

Поэтому угол между диагоналями равен 2·47° или его дополнительному углу.

Острый угол равен 86°.

Ответ: 86.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 7, высота равна 3.

S = 7 · 3 = 21.

Ответ: 21.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Все хорды одной окружности равны между собой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно: смежные углы могут быть оба по 90°.

2) Верно: площадь квадрата равна произведению двух смежных сторон.

3) Неверно: хорды одной окружности вообще говоря имеют разные длины.

Ответ: 2.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $x^2-2x+\sqrt{3-x}=\sqrt{3-x}+8$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в обеих частях стоит одно и то же слагаемое $\sqrt{3-x}$ — его можно сократить.

Шаг 1. Вычитаем $\sqrt{3-x}$ из обеих частей:

$x^2-2x=8$.

Шаг 2. Решаем квадратное уравнение:

$x^2-2x-8=0\Rightarrow(x-4)(x+2)=0$.

Корни: $x=4$ и $x=-2$.

Шаг 3. Проверяем ОДЗ. Под корнем $3-x\ge0$, значит $x\le3$.

Значение $x=4>3$ не подходит. Остаётся $x=-2$.

Ответ: $-2$.

Правильный ответ: -2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два велосипедиста одновременно отправляются в 100-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 15 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 6 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения.

Шаг 1. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 15) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 6 ч раньше:

100/x − 100/(x+15) = 6.

Шаг 3. Умножаем на x·(x+15):

100·15 = 6·x·(x+15).

Шаг 4. Квадратное уравнение: 6x² + 90x − 1500 = 0.

Шаг 5. D = 44100, √D = 210.

x = (−90 + 210) / (2·6) = 10 (скорость второго).

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+1)((x+2))}{-2-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+1,\ x\ne -2 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-2 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-2; 2; 2,5 $.

Ответ: $ -2; 2; 2,5 $.

Правильный ответ: -2; 2; 2,5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.

Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.

∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).

По двум углам: △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.

По условию AC = 1,5·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.

KP = AK · BC/AC = AK / 1,5 = 18 / 1,5 = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые EF и CD перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. EC = ED (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка E равноудалена от C и D

⟹ E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.

Шаг 2. FC = FD (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка F тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к CD.

Следовательно, EF ⟂ CD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.

Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=36 и R=45.

O₁O₂ = r + R = 81 (внешнее касание).

Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.

Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.

Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).

Аналогично CD ⊥ O₁O₂.

Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.

По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(45·36) = 2√1620 = 36√5.

Ответ: 36√5.

Правильный ответ: 36√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.