Загрузка заданий...
Вариант 3170 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A1, A2 и A4.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A1, A2, A4.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 841 | 594 |
| 2 | 1189 | 841 |
| 3 | 297 | 210 |
| 4 | 594 | 420 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A0 — 1189 × 841 мм, это №2. A1 — 841 × 594 мм, это №1. A2 — 594 × 420 мм, это №4. A4 — 297 × 210 мм, это №3. Ответ: 2143.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A2?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Из A2 получают два листа A3, а из каждого A3 — два листа A4. Всего 2 · 2 = 4 листа A4. Ответ: 4.
3
Задание 3
1 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A0 имеет размеры примерно 1189 × 841 мм. Ширина равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
4
Задание 4
1 балл
Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата A4 к большей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Размер A4: 297 × 210 мм. Отношение меньшей стороны к большей: 210 : 297 ≈ 0,707. Округляем до десятых: 0,7. Ответ: 0,7.
5
Задание 5
1 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
При переходе от A4 к A3 линейные размеры увеличиваются примерно в √2 раза. Поэтому размер шрифта: 15 · √2 ≈ 21,2. Округляем до целого: 21. Ответ: 21.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{5}{2} : \frac{8}{9} + \frac{9}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{5}{2} : \frac{8}{9} + \frac{9}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{5}{2}) : \frac{8}{9} = \frac{45}{16}\).
Шаг 2: \((\frac{45}{16}) + \frac{9}{2} = \frac{117}{16}\).
Получили дробь \(\frac{117}{16}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(7,3125\).
Ответ: \(7,3125\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Укажите число, которое больше 2,08, но меньше 4,5.
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа 2,08 и 4,5. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (3,25) лежит между этими числами.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$6\sqrt{11} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{33}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 6√11 · 4√3 · √33.
Перемножим коэффициенты: 6 · 4 = 24.
Подкоренные выражения дают: √11 · √3 · √33 = √(11·3·33) = √(1089) = 33.
Тогда всё выражение равно 24 · 33 = 792.
Ответ: 792.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - x - 30 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Разбор: Квадратное уравнение →
Решим уравнение: x2 - x - 30 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -1, c = -30.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -1² - 4·1·-30 = 121.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (1 - √121) / 2 = -5
x₂ = (1 + √121) / 2 = 6
Ответ: -5;6
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 95 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 125.
Благоприятных исходов: 30 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 30/125 = 0,24.
Ответ: 0,24.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c < 0
Б) a < 0, c > 0
В) a > 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 312.
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 14 колец.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим n = 14 в формулу C = 6500 + 4000n.
C = 6500 + 4000·14 = 62500.
Ответ: 62 500.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
3x > 6x + 6
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: 3x > 6x + 6.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -3x < 6.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -3: x < -2.
Значит, x меньше -2.
Этому соответствует промежуток (-∞;-2).
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 540 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 5 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 540, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 5-го отскока высота ещё не меньше 5 см, а после 6-го уже меньше.
Ответ: 6.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = \(\frac{1}{2}\) · 29 · 27 = 783/2 = 391,5.
Ответ: 391,5.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 14.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.
a = 2r = 2 · 14 = 28.
S = a² = 28² = 784.
Ответ: 784.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов прямоугольной трапеции равен 72°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
В прямоугольной трапеции два угла по 90°, а два других supplementary.
Искомый угол равен 180° - 72° = 108°.
Ответ: 108.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 9 и 3.
Искомое отношение площадей равно (9 / 3)² = 9.
Ответ: 9.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно.
2) Неверно: вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.
3) Неверно.
Ответ: 1.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(50a-34b+59\), если \(\dfrac{6a-8b+9}{8a-6b+9}=7\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(50a-34b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(6a-8b+9 = 7(8a-6b+9)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(6a-8b+9 = 56a-42b+63\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 50a-34b+54\), откуда \(50a-34b = -54\).
Шаг 4. Вычисляем: \(50a-34b+59 = -54+59 = 5\).
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).
Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 8) км/ч.
Шаг 2. Время в пути одинаковое с учётом остановки:
209/x = 209/(x+8) + 8.
Шаг 3. Переносим и умножаем на x·(x+8): 8x² + 64x − 1672 = 0.
Шаг 4. D = 57600, √D = 240. x = (−64+240)/(2·8) = 11.
Ответ: 11.
Правильный ответ: 11
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}2{,}5x-3{,}5,& x<2,\\-3x+7{,}5,& 2\le x\le 3,\\x-6,& x>3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: (-3;-1,5)∪{1,5}.
Ответ: (-3;-1,5)∪{1,5}.
Правильный ответ: (-3;-1,5)∪{1,5}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD = 75.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin60°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 75 · sin135°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin60° = 75 · sin135°.
AB = 75 · sin135°/sin60° (здесь sin135°/sin60° = √\(\frac{6}{3}\)).
AB = 25√6.
Ответ: 25√6.
Правильный ответ: 25√6
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые EF и CD перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. EC = ED (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка E равноудалена от C и D
⟹ E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.
Шаг 2. FC = FD (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка F тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к CD.
Следовательно, EF ⟂ CD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.
Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.
Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.
Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.
Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−12, 0), D = (12, 0) (|AD| = 24).
В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.
Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (24, h). На прямой BE точка E = (0, 24 − h), так как BE = 24.
Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·\(\frac{24}{4}\) = 18.
Шаг 5. AB = √(h² + (12)²) = √(324 + 144) = 6√13;
BC = 2·AB = 12√13; CA = 18√5.
Ответ: 6√13; 12√13; 18√5.
Правильный ответ: 6√13; 12√13; 18√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.