Загрузка заданий...
Вариант 3169 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{5} + \frac{2}{1} : \frac{2}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{5} + \frac{2}{1} : \frac{2}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{2}{1}) : \frac{2}{1} = \frac{1}{1}\).
Шаг 2: \((\frac{1}{5}) + \frac{1}{1} = \frac{6}{5}\).
Получили дробь \(\frac{6}{5}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(1,2\).
Ответ: \(1,2\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами -4,72 и \(\frac{3}{2}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа -4,72 и \(\frac{3}{2}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (-4,08) лежит между этими числами.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{252} + \sqrt{112})\sqrt{7}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√252 + √112)·√7.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √252 = 6√7, √112 = 4√7.
Тогда получаем (6√7 + 4√7)·√7 = 10√7·√7.
Так как √7·√7 = 7, имеем 10·7 = 70.
Ответ: 70.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 2x - 48 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Разбор: Квадратное уравнение →
Решим уравнение: x2 - 2x - 48 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -2, c = -48.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -2² - 4·1·-48 = 196.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (2 - √196) / 2 = -6
x₂ = (2 + √196) / 2 = 8
Ответ: -6;8
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события \(A \cup \overline{B}\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события \(A \cup \overline{B}\): 6.
\(P=6/8=0,75\).
Ответ: 0,75
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0
2) a > 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 30 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим C = 0,0002 и U = 30 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·30² / 2 = 0,09.
Ответ: 0,09.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 480 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 480, q = \(\frac{1}{2}\).
Проверяем последовательно: после 6-го отскока высота ещё не меньше 10 см, а после 7-го уже меньше.
Ответ: 7.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Катеты прямоугольного треугольника равны 60 и 80. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
c² = 60² + 80² = 3600 + 6400 = 10000.
Значит, c = 100.
Ответ: 100.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 11√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.
Значит, a = 2r√3 = 2 · 11√3 · √3 = 66.
Ответ: 66.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В ромбе ABCD угол ABC равен 48°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
В ромбе противоположные углы равны, а соседние дополняют друг друга до 180°.
Следовательно, угол C равен 180° - 48° = 132°.
Диагональ AC биссектрисой угла C.
Поэтому ∠ACD = 132° / 2 = 66°.
Ответ: 66.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 5 и 12.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.
Ответ: 13.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.
2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.
3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.
Ответ: 3.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(21a-15b+49\), если \(\dfrac{4a-5b+9}{5a-4b+9}=5\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(21a-15b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(4a-5b+9 = 5(5a-4b+9)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(4a-5b+9 = 25a-20b+45\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 21a-15b+36\), откуда \(21a-15b = -36\).
Шаг 4. Вычисляем: \(21a-15b+49 = -36+49 = 13\).
Ответ: 13.
Правильный ответ: 13
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 140 литров она заполняет на 3 минут дольше, чем вторая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 6) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 140/x мин, второй — 140/(x+6) мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 3 мин дольше:
140/x − 140/(x+6) = 3.
Шаг 4. Умножаем на x(x+6):
140·(x+6) − 140·x = 3·x·(x+6).
840 = 3·x² + 18·x.
3x² + 18x − 840 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 18² + 4·3·840 = 324 + 10080 = 10404, √D = 102.
x = (−18 + 102) / (2·3) = 14 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 140/14 = 10 мин, вторая — 140/20 = 7 мин.
10 − 7 = 3 = 3. ✓
Ответ: 14.
Правильный ответ: 14
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| + 6\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x + 6.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x + 6.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 6. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 6.
Проверка: при m = 6 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 3, AC = 27.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.
Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.
Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 3 · 27 = 81.
Шаг 3. AB = √81 = 9.
Ответ: 9.
Правильный ответ: 9
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы углов B и C перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.
Шаг 1. В параллелограмме ∠B + ∠C = 180° (смежные).
Биссектрисы делят углы пополам: ∠B/2 + ∠C/2 = 90°.
Значит в △M (треугольник при пересечении биссектрис) угол при M равен 90°.
Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла B.
Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),
значит расстояние от вершины до M равно половине смежной стороны.
Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем M — середина AD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 28 и 35, а основание BC равно 7. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 28 + 7... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 21, AB = 28, CD = 35, BC = 7.
Шаг 3. AD = BC + AB = 7 + 28 = 35.
S = (BC + AD)/2 · h = (7 + 35)/2 · 21 = 490.
Ответ: 490.
Правильный ответ: 490
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.