Загрузка заданий...

Вариант 3182 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Новая	Абрамово	Таловка
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.

Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.

Следовательно, ответ: 324.

Ответ: 324

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.

От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.

От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.

Складываем: 32 + 24 = 56 км.

Ответ: 56.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 24 км и 32 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.

Ответ: 40.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 40 км.

Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.

В минутах это 200 мин.

Ответ: 200.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Грушёвка	Абрамово	Таловка	Новая
Молоко (1 л)	47	54	58	51
Хлеб (1 батон)	39	24	43	27
Сыр «Российский» (1 кг)	258	244	251	255
Говядина (1 кг)	335	333	325	324
Картофель (1 кг)	17	27	22	21

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Грушёвка: 2·47=94 + 3·39=117 + 2·335=670 + 4·17=68 + 1·258=258 = 1 207

Абрамово: 2·54=108 + 3·24=72 + 2·333=666 + 4·27=108 + 1·244=244 = 1 198

Таловка: 2·58=116 + 3·43=129 + 2·325=650 + 4·22=88 + 1·251=251 = 1 234

Новая: 2·51=102 + 3·27=81 + 2·324=648 + 4·21=84 + 1·255=255 = 1 170

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 170 руб.

Ответ: 1 170.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,125 + 0,6$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,125 + 0,6$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,125) + 0,6 = 0,725$.

Ответ: $0,725$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{1}{3}$, 1,95, $\sqrt{5}$, $\sqrt{21}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{3}$

1,95

$\sqrt{5}$

$\sqrt{21}$

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{1}{3}$ ≈ 0,3333

2) 1,95 ≈ 1,95

3) $\sqrt{5}$ ≈ 2,2361

4) $\sqrt{21}$ ≈ 4,5826

Точке A соответствует вариант 3.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{7} \cdot \sqrt{70}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 4√10 · 4√7 · √70.

Перемножим коэффициенты: 4 · 4 = 16.

Подкоренные выражения дают: √10 · √7 · √70 = √(10·7·70) = √(4900) = 70.

Тогда всё выражение равно 16 · 70 = 1120.

Ответ: 1120.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 8x + 3y = 53 \\ -6x + 8y = -50 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

8x + 3y = 53

-6x + 8y = -50

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на 8.

Получим:

$(8x + 3y = 53) \cdot -6$: -48x - 18y = -318

$(-6x + 8y = -50) \cdot 8$: -48x + 64y = -400

Вычтем второе уравнение из первого:

-82y = 82

y = 82 / -82 = -1

Подставим y = -1 в первое уравнение:

8x + 3y = 53

Получаем x = 7.

Ответ: (7;-1)

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, 21 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 150.

Благоприятных исходов: 129 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 129/150 = 0,86.

Ответ: 0,86.

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a < 0, c > 0

Б) a > 0, c < 0

В) a > 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 312.

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 16-минутной поездки.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t = 16 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(16 − 5) = 271.

Ответ: 271.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-5x - 7 ≥ -7x + 2

[0;+∞)

[-2,5;+∞)

(-∞;-4,5]

[4,5;+∞)

Решение

Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →

Решим неравенство: -5x - 7 >= -7x + 2.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x >= 9.

Делим обе части на 2: x >= 4,5.

Значит, x больше или равно 4,5.

Этому соответствует промежуток [4,5;+∞).

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 560 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 560, q = $\frac{1}{2}$.

Проверяем последовательно: после 6-го отскока высота ещё не меньше 15 см, а после 7-го уже меньше.

Ответ: 7.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 15° и AK = CK.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.

Но ∠ACK = ∠C = 15°.

Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·15° = 30°.

Тогда ∠B = 180° - 30° - 15° = 135°.

Ответ: 135.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен √5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда O — середина стороны CD.

По теореме Пифагора OA² = a² + (a/2)² = 5a²/4.

Следовательно, OA = a√5 / 2.

По условию OA = √5, значит a = 2.

Площадь квадрата равна a² = 4.

Ответ: 4.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 8 и 11, а высота равна 8. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

S = (8 + 11) / 2 · 8 = 76.

Ответ: 76.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 7, высота равна 3.

S = 7 · 3 = 21.

Ответ: 21.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 2.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-19}{(x+5)^2-6}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-19<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x+5)^2-6<0$.

Шаг 2. $(x+5)^2<6$.

Шаг 3. $-\sqrt{6}<x+5<\sqrt{6}$.

Шаг 4. Вычитаем 5: $-5-\sqrt{6}<x<-5+\sqrt{6}$.

Ответ: $(-5-\sqrt{6};\; -5+\sqrt{6})$.

Правильный ответ: (-5-√6;-5+√6)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.

По течению: x + 5. Против течения: x − 5.

Шаг 2. Составляем уравнение:

216/(x+5) + 5 + 216/(x−5) = 23.

Шаг 3. Переносим стоянку: 216/(x+5) + 216/(x−5) = 18.

Шаг 4. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:

216(x−5) + 216(x+5) = 18(x²−25).

Шаг 5. Левая часть: 2·216·x = 432x. Квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 25.

Шаг 7. Проверка: $\frac{36}{5}$ + 5 + $\frac{54}{5}$ = 23. ✓

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| - 5\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x - 5.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x - 5.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -5. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -5.

Проверка: при m = -5 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: -5.

Правильный ответ: -5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 10.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BPHK — прямоугольник, поэтому BH = PK.

Шаг 1. BH — диаметр ⟹ ∠BPH = ∠BKH = 90° (вписанный угол на диаметр).

Шаг 2. Четырёхугольник BPHK — прямоугольник, значит BH = PK (противоположные стороны).

BH = PK = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N — середина CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов A и B перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠A + ∠B = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠A/2 + ∠B/2 = 90°.

Значит в △N (треугольник при пересечении биссектрис) угол при N равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до N равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем N — середина CD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 7° и 83°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 14. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 7° + 83° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 16 и 14.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 16 и (b-a)/2 = 14 (или наоборот).

a+b = 32, b-a = 28.

b = 30, a = 2.

Ответ: 2; 30.

Правильный ответ: 2; 30

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.