Загрузка заданий...

Вариант 3185 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Володя летом отдыхает у дедушки в деревне Ёлочки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кленовое в магазин. Из деревни Ёлочки в село Кленовое можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Сосенки до деревни Жуки, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Кленовое. Есть и третий маршрут: в деревню Сосенки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Кленовое, которая идёт мимо пруда. Шоссе и грунтовые дороги образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 4 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Жуки	Кленовое	Сосенки
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Ёлочки, промежуточная деревня на прямом шоссе — Сосенки, место поворота на другое шоссе — Жуки, конечный пункт — Кленовое.

Получаем соответствие: Ёлочки — 4, Сосенки — 2, Жуки — 3, Кленовое — 1.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Жуки, Кленовое, Сосенки.

Следовательно, ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Володя с дедушкой от деревни Ёлочки до села Кленовое, если они поедут по шоссе через деревню Жуки?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Ёлочки до Жуки и от Жуки до Кленовое.

От Ёлочки до Жуки: 15 клеток · 4 км = 60 км.

От Жуки до Кленовое: 8 клеток · 4 км = 32 км.

Складываем: 60 + 32 = 92 км.

Ответ: 92.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Ёлочки до села Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 8 клеток, по вертикали 15 клеток.

Значит, катеты равны 32 км и 60 км.

Это треугольник со сторонами 8–15–17, поэтому расстояние по прямой равно 68 км.

Ответ: 68.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Ёлочки в село Кленовое Володя с дедушкой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 68 км.

Скорость по грунтовой дороге — 40 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 68 / 40 ч.

В минутах это 102 мин.

Ответ: 102.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Ёлочки	Кленовое	Сосенки	Жуки
Молоко (1 л)	47	36	45	40
Хлеб (1 батон)	31	28	32	25
Сыр «Российский» (1 кг)	274	265	264	275
Говядина (1 кг)	297	292	297	301
Картофель (1 кг)	31	17	29	17

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Ёлочки, селе Кленовое, деревне Сосенки и деревне Жуки. Володя с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Ёлочки: 2·47=94 + 3·31=93 + 2·297=594 + 4·31=124 + 1·274=274 = 1 179

Кленовое: 2·36=72 + 3·28=84 + 2·292=584 + 4·17=68 + 1·265=265 = 1 073

Сосенки: 2·45=90 + 3·32=96 + 2·297=594 + 4·29=116 + 1·264=264 = 1 160

Жуки: 2·40=80 + 3·25=75 + 2·301=602 + 4·17=68 + 1·275=275 = 1 100

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Кленовое": 1 073 руб.

Ответ: 1 073.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{2}{5} : 0,01$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{2}{5} : 0,01$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{2}{5}) : 0,01 = 40$.

Получили результат $40$.

Ответ: $40$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a < -6

a < -7

$\frac{1}{a} > 0$

a > -6

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что -7 < a < -6.

Проверим варианты ответа:

1) a < -6 ⇔ a < -6 — верно.

2) a < -7 ⇔ a < -7 — неверно.

3) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

4) a > -6 ⇔ a > -6 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(2\sqrt{2})^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (2√2)².

Используем свойство степени произведения: (2√2)² = 2² · (√2)².

Получаем 4 · 2 = 8.

Ответ: 8.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 14x + 49 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² - 14x + 49 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -14, c = 49.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -14² - 4·1·49 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = 14 / 2 = 7

Ответ: 7

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 50 чашек: 49 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 1 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{1}{50}$ = 0,02.

Ответ: 0,02.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = -\dfrac{1}{5}x - 5$

Б) $y = -x^2 + 7x - 7$

В) $y = \dfrac{9}{x}$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 40 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 7 840 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).

m = 7 840/(9,8·40) = 20.

Ответ: 20.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

1x - x² < 0

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Разложим: 1x - x² = x(1 - x). Нули: 0 и 1. Верное решение: (-∞;0) ∪ (1;+∞). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 15 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,6 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 15 см = 0,15 м.

После 6-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 7-го прыжка уже меньше.

Ответ: 7.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 10, AC = 7. Найдите tg B.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике tg острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC.

tg B = AC / BC = $\frac{7}{10}$ = 0,7.

Ответ: 0,7.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Периметр треугольника равен 71, одна из сторон равна 40, а радиус вписанной в него окружности равен 10. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.

p = 71 / 2 = 35,5.

S = p·r = 35,5 · 10 = 355.

Ответ: 355.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 17 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.

Больший отрезок равен 17 / 2 = 8,5.

Ответ: 8,5.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

По клеткам основания равны 4 и 10, высота равна 6.

S = (4 + 10) / 2 · 6 = 42.

Ответ: 42.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все квадраты имеют равные площади.

Основания равнобедренной трапеции равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-18}{(x+4)^2-10}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-18<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x+4)^2-10<0$.

Шаг 2. $(x+4)^2<10$.

Шаг 3. $-\sqrt{10}<x+4<\sqrt{10}$.

Шаг 4. Вычитаем 4: $-4-\sqrt{10}<x<-4+\sqrt{10}$.

Ответ: $(-4-\sqrt{10};\; -4+\sqrt{10})$.

Правильный ответ: (-4-√10;-4+√10)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 320 км — со скоростью 80 км/ч, а последние 140 км — со скоростью 35 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 200/50 = 4 ч,

t₂ = 320/80 = 4 ч,

t₃ = 140/35 = 4 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 200 + 320 + 140 = 660 км.

Шаг 3. Общее время: 4 + 4 + 4 = 12 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 660 / 12 = 55 км/ч.

Ответ: 55.

Правильный ответ: 55

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| + 7\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x + 7.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x + 7.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 7. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 7.

Проверка: при m = 7 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.

Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.

Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).

Шаг 2. По условию r = 14, диагональ = 56 = 4r.

Значит диагональ = 4·14, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.

Упрощая: cos(α/2) = 2·sin(α/2)·cos(α/2) ⟹ 1 = 2·sin(α/2), sin(α/2) = $\frac{1}{2}$, α/2 = 30°, α = 60°.

Шаг 3. Острый угол = 60°, тупой угол = 120°.

Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.

Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 6, BC = 5.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.

Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.

BE — касательная: BE² = степень точки B.

Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).

Степень точки B: BE² = BC · BD.

Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 6 (вертикальная хорда).

BE² = BC · BD = 5 · 6 = 30.

BE = √30 = √30.

Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = √30.

Ответ: √30.

Правильный ответ: √30

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.