Загрузка заданий...

Вариант 3269 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Новая	Абрамово	Таловка
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.

Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.

Следовательно, ответ: 324.

Ответ: 324

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.

От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.

От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.

Складываем: 32 + 24 = 56 км.

Ответ: 56.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 24 км и 32 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.

Ответ: 40.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 40 км.

Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.

В минутах это 200 мин.

Ответ: 200.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Грушёвка	Абрамово	Таловка	Новая
Молоко (1 л)	47	54	58	51
Хлеб (1 батон)	39	24	43	27
Сыр «Российский» (1 кг)	258	244	251	255
Говядина (1 кг)	335	333	325	324
Картофель (1 кг)	17	27	22	21

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Грушёвка: 2·47=94 + 3·39=117 + 2·335=670 + 4·17=68 + 1·258=258 = 1 207

Абрамово: 2·54=108 + 3·24=72 + 2·333=666 + 4·27=108 + 1·244=244 = 1 198

Таловка: 2·58=116 + 3·43=129 + 2·325=650 + 4·22=88 + 1·251=251 = 1 234

Новая: 2·51=102 + 3·27=81 + 2·324=648 + 4·21=84 + 1·255=255 = 1 170

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 170 руб.

Ответ: 1 170.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{5}{8} + \frac{2}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{5}{8} + \frac{2}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{5}{8}) + \frac{2}{1} = \frac{21}{8}$.

Получили дробь $\frac{21}{8}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $2,625$.

Ответ: $2,625$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами $-\frac{5}{2}$ и 1,1?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-0,15

$\frac{24}{5}$

$-\frac{9}{2}$

4,29

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа $-\frac{5}{2}$ и 1,1. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (-0,15) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{27} + \sqrt{48})\sqrt{3}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√27 + √48)·√3.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √27 = 3√3, √48 = 4√3.

Тогда получаем (3√3 + 4√3)·√3 = 7√3·√3.

Так как √3·√3 = 3, имеем 7·3 = 21.

Ответ: 21.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 9x + 14 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² - 9x + 14 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -9, c = 14.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -9² - 4·1·14 = 25.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (9 - √25) / 2 = 2

x₂ = (9 + √25) / 2 = 7

Ответ: 2;7

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cup B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Всего исходов: 40. Вероятность события $A \cup B$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=20/40=0,5$.

Ответ: 0,5

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = -x$

Б) $y = \dfrac{2}{x}$

В) $y = -2x^2 + 4x$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,9 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим V = 0,9 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,9 = 8 820.

Ответ: 8 820.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

x - 12 ≥ 7x + 3

[0;+∞)

[-2,5;+∞)

(-∞;2,5]

(-∞;-2,5]

Решение

Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →

Решим неравенство: x - 12 >= 7x + 3.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -6x <= 15.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -6: x <= -2,5.

Значит, x меньше или равно -2,5.

Этому соответствует промежуток (-∞;-2,5].

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 31 мест, а в десятом ряду 46 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (46 - 31) / (10 - 5) = 3.

Тогда первый ряд: a₁ = a5 - (5 - 1)·d = 31 - 4·3 = 19.

Последний ряд: a16 = a₁ + (16 - 1)·d = 19 + 15·3 = 64.

Ответ: 64.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 72, AB = 75. Найдите cos B.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.

cos B = BC / AB = $\frac{72}{75}$ = 0,96.

Ответ: 0,96.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 150°, AB = 26. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

По теореме синусов AB = 2R·sin C.

Следовательно, R = AB / (2 sin 150°).

Подстановка даёт R = 26.

Ответ: 26.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 2 и 4, а высота равна 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

m = (2 + 4) / 2 = 3.

Ответ: 3.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 10 и 6.

Большая диагональ равна 10.

Ответ: 10.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Вертикальные углы равны.

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно: такие прямые параллельны между собой.

3) Неверно: они делят прямоугольник на четыре треугольника равной площади, но не обязательно равных как фигуры.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}-6=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x}$.

Шаг 1. После замены уравнение принимает вид:

$t^2-t-6=0$.

Шаг 2. Разложим на множители: $(t-3)(t+2)=0$.

Корни: $t_1=3$, $t_2=-2$.

Шаг 3. Обратная замена:

Если $t=3$: $x=\dfrac{1}{3}$.

Если $t=-2$: $x=-\dfrac{1}{2}$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne0$ — оба корня подходят.

Ответ: $-\dfrac{1}{2};\quad \dfrac{1}{3}$.

Правильный ответ: -1/2;1/3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 82 км, скорость первого велосипедиста равна 28 км/ч, скорость второго — 10 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: ввести переменную t — время от старта до встречи; первый велосипедист находился в движении меньше.

Шаг 1. Обозначим t (ч) — время от выезда до встречи.

Шаг 2. Первый сделал остановку 36 мин = $\frac{3}{5}$ ч, поэтому его время движения: t − $\frac{3}{5}$.

Шаг 3. Суммарный путь равен расстоянию между городами:

28·(t − $\frac{3}{5}$) + 10·t = 82.

Шаг 4. Раскрываем: (28 + 10)·t = 82 + 28·$\frac{3}{5}$ = 494/5.

t = 494/5 / 38 = $\frac{13}{5}$ ч.

Шаг 5. Расстояние от города второго велосипедиста до места встречи:

10 · $\frac{13}{5}$ = 26 км.

Ответ: 26.

Правильный ответ: 26

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=2-\dfrac{x-5}{x^2-5x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=2-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=5 $.

У функции $ y=2-\frac1x $ нет значений $ y=2 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=1,8 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=1,8; 2 $.

Ответ: 1,8; 2.

Правильный ответ: 1,8; 2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 90, BC = 30, CF : DF = 7 : 3.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 7:3 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 7:3 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (3·30 + 7·90) / (7+3).

Шаг 3. EF = (90 + 630) / 10 = 720 / 10 = 72.

Ответ: 72.

Правильный ответ: 72

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота от K до AB равна среднему арифметическому высот от C и D.

Шаг 1. Пусть hC и hD — расстояния от C и D до прямой AB. K — середина CD,

поэтому высота hK = (hC + hD)/2.

Шаг 2. S(△KAB) = AB·hK/2 = AB·(hC+hD)/4.

Шаг 3. S(трапеции) = (AD+BC)·h/2; при AB = AD: S = AB·(hC+hD)/2.

Значит S(△KAB) = S(трапеции)/2. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 72, MD = 18, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.

Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.

Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?

Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).

Шаг 3. AM = AD − MD = 72 − 18 = 54.

AM² = 2916.

AH = AM² / AD = 2916 / 72 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).

Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 72 − 324/72 = 67,5.

Ответ: 67,5.

Правильный ответ: 67,5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.