Загрузка заданий...
Вариант 3303 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.
| Масса (кг) | 15 | 40 | 48 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.
2
Задание 2
1 балл
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.
По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.
Ответ: 65.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,06 : \frac{6}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,06 : \frac{6}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,06) : \frac{6}{5} = 0,05\).
Получили результат \(0,05\).
Ответ: \(0,05\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-25}{7}\) ≈ -3,5714
2) \(\frac{-29}{13}\) ≈ -2,2308
3) 1,75 ≈ 1,75
4) \(\sqrt{6}\) ≈ 2,4495
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{27} + \sqrt{3})\sqrt{3}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√27 + √3)·√3.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √27 = 3√3, √3 = 1√3.
Тогда получаем (3√3 + 1√3)·√3 = 4√3·√3.
Так как √3·√3 = 3, имеем 4·3 = 12.
Ответ: 12.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-3}{x - 9} = 3$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: -3/(x - 9) = 3
Область допустимых значений: x != 9.
Умножим обе части уравнения на x - 9:
-3 = 3(x - 9)
Раскроем скобки:
-3 = 3x - 27
Перенесём число в левую часть:
24 = 3x
x = 24 / 3
x = 8
Проверка ОДЗ: x = 8, x != 9, условие выполняется.
Ответ: 8
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события B.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.
Получаем 0,4.
Ответ: 0,4
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 14-минутной поездки.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t = 14 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(14 − 5) = 249.
Ответ: 249.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 2)(x - 6) ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -2 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 6) <= 0 получаем решение [-2;6]. Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 10 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 10, q = 3.
За 90 минут пройдёт 3 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 10·3^3 = 270 мг.
Ответ: 270.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 7, AB = 25. Найдите sin B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.
sin B = AC / AB = \(\frac{7}{25}\) = 0,28.
Ответ: 0,28.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AC = 20, BC = 21, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.
По теореме Пифагора AB = 29.
Следовательно, R = AB / 2 = 29 / 2 = 14,5.
Ответ: 14,5.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 56°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Угол A равен 180° - 56° = 124°.
Так как AC — биссектриса, ∠CAD = 124° / 2 = 62°.
В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° - 62° - 56° = 62°.
Ответ: 62.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=5: t=(7−5)/(7−1)=\(\frac{1}{3}\). x_A=1+\(\frac{1}{3}\)·3=2, x_B=4+\(\frac{2}{3}\)·3=6. AB=4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}4x^2-3x=y,\\8x-6=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: оба выражения равны \(y\) — приравниваем их.
Шаг 1. \(4x^2-3x=8x-6\).
Шаг 2. Переносим влево: \(4x^2-11x+6=0\).
Шаг 3. Разложим: \((4x-3)(x-2)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{3}{4}\) или \(x=2\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{3}{4}\): \(y=8\cdot\dfrac{3}{4}-6=0\).
При \(x=2\): \(y=8\cdot2-6=10\).
Ответ: \(\left(\dfrac{3}{4};\,0\right);\ (2;\,10)\).
Правильный ответ: (3/4;0);(2;10)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 60 кг получается раствор с концентрацией 33%:
40·x + 20·y = 60·0,33 = 19,8 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 47%:
(x + y)/2 = 0,47 ⟹ x + y = 0,94 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 0,94 − x. Подставляем в (1):
40·x + 20·(0,94 − x) = 19,8
40x + 18,8 − 20x = 19,8
20x = 1 ⟹ x = 0,05.
Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 40·0,05 = 2 кг.
Ответ: 2.
Правильный ответ: 2
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2-2x+1,& x\ge -2,\\-\dfrac{18}{x},& x<-2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {0}∪[9;+∞).
Ответ: {0}∪[9;+∞).
Правильный ответ: {0}∪[9;+∞)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 24, а сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.
Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.
∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).
По двум углам: △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.
По условию AC = 1,5·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.
KP = AK · BC/AC = AK / 1,5 = 24 / 1,5 = 16.
Ответ: 16.
Правильный ответ: 16
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.
Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 5, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 4 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 3, AB = 4, CD = 5, BC = 1.
Шаг 3. AD = BC + AB = 1 + 4 = 5.
S = (BC + AD)/2 · h = (1 + 5)/2 · 3 = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.