Загрузка заданий...

Вариант 3325 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.

Стоимость (руб.)	15 000	19 500	18 000
Номер печи

Решение

Разбор: Печь для бани →

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.

2 Задание 2 1 балл

Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.

По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.

Ответ: 50.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} : \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} : \frac{1}{2}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) : \frac{1}{2} = \frac{2}{1}$.

Получили дробь 2.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $2$.

Ответ: $2$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{-23}{13}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 1,962, $\sqrt{24}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-23}{13}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

1,962

$\sqrt{24}$

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-23}{13}$ ≈ -1,7692

2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ≈ 0,866

3) 1,962 ≈ 1,962

4) $\sqrt{24}$ ≈ 4,899

Точке A соответствует вариант 3.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(6\sqrt{11})^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (6√11)².

Используем свойство степени произведения: (6√11)² = 6² · (√11)².

Получаем 36 · 11 = 396.

Ответ: 396.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-6}{x - 1} = 3$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: -6/(x - 1) = 3

Область допустимых значений: x != 1.

Умножим обе части уравнения на x - 1:

-6 = 3(x - 1)

Раскроем скобки:

-6 = 3x - 3

Перенесём число в левую часть:

-3 = 3x

x = -3 / 3

x = -1

Проверка ОДЗ: x = -1, x != 1, условие выполняется.

Ответ: -1

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 7 чёрных, 11 жёлтых и 22 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 11 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{11}{40}$ = 0,275.

Ответ: 0,275.

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c < 0

2) a < 0, c > 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 321.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 7, sinα = 0,583, а S = 30,625.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·30,625/(7·0,583) = 15.

Ответ: 15.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 3x + 1,5 \leqslant 10,5 \\ x + 0,3 < 1,3 \end{cases}$$

[-1;1]

(1;+∞)

нет решений

(-∞;1)

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;1). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,5 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,4 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10 секунд движения?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,5, d = 0,4, n = 10.

Сумма первых 10 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 23.

Ответ: 23.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676.

Значит, c = 26.

Ответ: 26.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 8, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.

Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:

tg ∠BCA = BD / AC, значит BD = AC · tg ∠BCA = 8 · 0,75 = 6.

Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 8 · 6 / 2 = 24.

Сторона ромба a = √(($\frac{8}{2}$)² + ($\frac{6}{2}$)²) = 5.

Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.

r = S / (2a) = 24 / (2·5) = 2,4.

Ответ: 2,4.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание равно 3 + 8 = 11.

S = 11 · 4 = 44.

Ответ: 44.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 6 и 8.

m = (6 + 8) / 2 = 7.

Ответ: 7.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно: из равенства трёх углов следует подобие, а не равенство.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}-4=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x}$ сводит уравнение к квадратному.

Шаг 1. После замены $\frac{1}{x^2}=t^2$, $\frac{1}{x}=t$:

$t^2-3t-4=0$.

Шаг 2. Разложим на множители: $(t-4)(t+1)=0$.

Корни: $t_1=4$, $t_2=-1$.

Шаг 3. Обратная замена $x=\frac{1}{t}$:

Если $t=4$: $x=\dfrac{1}{4}$.

Если $t=-1$: $x=-1$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne0$ — оба корня подходят.

Ответ: $-1;\quad \dfrac{1}{4}$.

Правильный ответ: -1;1/4

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 87% воды, а высушенные — 22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 49 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 22% воды, значит сухого вещества 78%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 49 кг сухих фруктов:

49 · 78/100 = 38,22 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 87% воды, значит сухого вещества 13%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,13·x = 38,22.

x = 38,22 / 0,13 = 294 кг.

Ответ: 294.

Правильный ответ: 294

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| - 5\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x - 5.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x - 5.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -5. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -5.

Проверка: при m = -5 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: -5.

Правильный ответ: -5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 11, CK = 12.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.

Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.

Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).

Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.

Шаг 2. AB = BK = 11.

Шаг 3. BC = BK + CK = 11 + 12 = 23.

Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(11 + 23) = 68.

Ответ: 68.

Правильный ответ: 68

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высоты из E до противоположных сторон в сумме дают высоту параллелограмма.

Шаг 1. Пусть h₁ — расстояние от E до BC, h₂ — до AD. Тогда h₁ + h₂ = h (высота параллелограмма).

Шаг 2. S(BEC) = BC·h₁/2; S(AED) = AD·h₂/2.

Так как BC = AD (параллелограмм): S(BEC)+S(AED) = AD·(h₁+h₂)/2 = AD·h/2 = S(ABCD)/2. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 5, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 4 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 3, AB = 4, CD = 5, BC = 1.

Шаг 3. AD = BC + AB = 1 + 4 = 5.

S = (BC + AD)/2 · h = (1 + 5)/2 · 3 = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.