Загрузка заданий...

Вариант 3397 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Старая	Николаево	Зябликово
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.

Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.

От Осиновка до Старая: 21 клеток · 1 км = 21 км.

От Старая до Николаево: 20 клеток · 1 км = 20 км.

Складываем: 21 + 20 = 41 км.

Ответ: 41.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 20 клеток, по вертикали 21 клетка.

Значит, катеты равны 20 км и 21 км.

Это треугольник со сторонами 20–21–29, поэтому расстояние по прямой равно 29 км.

Ответ: 29.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 29 км.

Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 29 / 10 ч.

В минутах это 174 мин.

Ответ: 174.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Осиновка	Николаево	Зябликово	Старая
Молоко (1 л)	42	49	52	48
Хлеб (1 батон)	27	29	32	38
Сыр «Российский» (1 кг)	259	250	255	264
Говядина (1 кг)	328	318	324	319
Картофель (1 кг)	34	19	24	30

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216

Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147

Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199

Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.

Ответ: 1 147.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,05 : 0,1$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,05 : 0,1$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,05) : 0,1 = 0,5$.

Ответ: $0,5$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какой точке на координатной прямой соответствует число $\sqrt{6}$?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\sqrt{6}$ по своему значению совпадает с точкой D.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{3} - 3)(\sqrt{3} + 3)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√3 - 3)(√3 + 3).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√3)² - 3² = 3 - 9 = -6.

Ответ: -6.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-2}{x - 8} = -2$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: -2/(x - 8) = -2

Область допустимых значений: x != 8.

Умножим обе части уравнения на x - 8:

-2 = -2(x - 8)

Раскроем скобки:

-2 = -2x + 16

Перенесём число в левую часть:

-18 = -2x

x = -18 / -2

x = 9

Проверка ОДЗ: x = 9, x != 8, условие выполняется.

Ответ: 9

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 9 чёрных, 7 жёлтых и 24 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 7 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{7}{40}$ = 0,175.

Ответ: 0,175.

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k > 0, b > 0

2) k < 0, b < 0

3) k < 0, b > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 123.

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 16-минутной поездки.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t = 16 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(16 − 5) = 271.

Ответ: 271.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

8x - x² ≤ 0

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Разложим: 8x - x² = x(8 - x). Нули: 0 и 8. Верное решение: (-∞;0] ∪ [8;+∞). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 320 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 7 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 320, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 7 см, а после 5-го уже меньше.

Ответ: 5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 58, BM – медиана, BM = 10. Найдите AM.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам.

Поэтому AM = AC : 2 = 58 : 2 = 29.

Ответ: 29.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 8√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.

Значит, a = 3R / √3 = 3 · 8√3 / √3 = 24.

Ответ: 24.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание равно 3 + 7 = 10.

S = 10 · 4 = 40.

Ответ: 40.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 4 и 6.

m = (4 + 6) / 2 = 5.

Ответ: 5.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все квадраты имеют равные площади.

Основания равнобедренной трапеции равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-17}{(x+3)^2-7}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-17<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x+3)^2-7<0$.

Шаг 2. $(x+3)^2<7$.

Шаг 3. $-\sqrt{7}<x+3<\sqrt{7}$.

Шаг 4. Вычитаем 3: $-3-\sqrt{7}<x<-3+\sqrt{7}$.

Ответ: $(-3-\sqrt{7};\; -3+\sqrt{7})$.

Правильный ответ: (-3-√7;-3+√7)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 60 кг получается раствор с концентрацией 33%:

40·x + 20·y = 60·0,33 = 19,8 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 47%:

(x + y)/2 = 0,47 ⟹ x + y = 0,94 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 0,94 − x. Подставляем в (1):

40·x + 20·(0,94 − x) = 19,8

40x + 18,8 − 20x = 19,8

20x = 1 ⟹ x = 0,05.

Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 40·0,05 = 2 кг.

Ответ: 2.

Правильный ответ: 2

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| - 2\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x - 2.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x - 2.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -2. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -2.

Проверка: при m = -2 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.

Ответ: -2.

Правильный ответ: -2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 15 и 39. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.

Шаг 1. Второй катет: √(39² − 15²) = √1296 = 36.

Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 15·$\frac{36}{2}$ = 270.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу 39 и высоту h к ней: S = 39·h/2.

Шаг 4. Из равенства площадей: h = 15·$\frac{36}{39}$ = 180/13.

Ответ: 180/13.

Правильный ответ: 180/13

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.

Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 7° и 83°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 8 и 5. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 7° + 83° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 8 и 5.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 8 и (b-a)/2 = 5 (или наоборот).

a+b = 16, b-a = 10.

b = 13, a = 3.

Ответ: 3; 13.

Правильный ответ: 3; 13

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.