Загрузка заданий...

Вариант 353 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Саша летом отдыхает у дедушки в деревне Масловка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Захарово в магазин. Из деревни Масловка в село Захарово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Вёсенка до деревни Полянка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Захарово. Есть и третий маршрут: в деревню Вёсенка можно свернуть на прямую тропинку в село Захарово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Саша с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Полянка	Захарово	Вёсенка
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Масловка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Вёсенка, место поворота на другое шоссе — Полянка, конечный пункт — Захарово.

Получаем соответствие: Масловка — 1, Вёсенка — 2, Полянка — 4, Захарово — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Полянка, Захарово, Вёсенка.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Саша с дедушкой от деревни Масловка до села Захарово, если они поедут по шоссе через деревню Полянка?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Масловка до Полянка и от Полянка до Захарово.

От Масловка до Полянка: 20 клеток · 1 км = 20 км.

От Полянка до Захарово: 15 клеток · 1 км = 15 км.

Складываем: 20 + 15 = 35 км.

Ответ: 35.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Масловка до села Захарово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 15 клеток, по вертикали 20 клеток.

Значит, катеты равны 15 км и 20 км.

Это треугольник со сторонами 15–20–25, поэтому расстояние по прямой равно 25 км.

Ответ: 25.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Масловка в село Захарово Саша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 25 км.

Скорость по лесной дорожке — 15 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 25 / 15 ч.

В минутах это 100 мин.

Ответ: 100.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Масловка	Захарово	Вёсенка	Полянка
Молоко (1 л)	43	49	50	45
Хлеб (1 батон)	27	41	31	26
Сыр «Российский» (1 кг)	272	279	269	277
Говядина (1 кг)	354	343	339	336
Картофель (1 кг)	26	18	19	32

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Масловка, селе Захарово, деревне Вёсенка и деревне Полянка. Саша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Масловка: 2·43=86 + 3·27=81 + 2·354=708 + 4·26=104 + 1·272=272 = 1 251

Захарово: 2·49=98 + 3·41=123 + 2·343=686 + 4·18=72 + 1·279=279 = 1 258

Вёсенка: 2·50=100 + 3·31=93 + 2·339=678 + 4·19=76 + 1·269=269 = 1 216

Полянка: 2·45=90 + 3·26=78 + 2·336=672 + 4·32=128 + 1·277=277 = 1 245

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Вёсенка": 1 216 руб.

Ответ: 1 216.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{2}) + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Получили дробь $\frac{3}{4}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,75$.

Ответ: $0,75$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a - 1 > 0

a > 2

$\frac{1}{a} < 0$

a - 1 < 0

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 1 < a < 2.

Проверим варианты ответа:

1) a - 1 > 0 ⇔ a > 1 — верно.

2) a > 2 ⇔ a > 2 — неверно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) a - 1 < 0 ⇔ a < 1 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{7} - 1)(\sqrt{7} + 1)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√7 - 1)(√7 + 1).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√7)² - 1² = 7 - 1 = 6.

Ответ: 6.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-2}{x - 1} = 2$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: -2/(x - 1) = 2

Область допустимых значений: x != 1.

Умножим обе части уравнения на x - 1:

-2 = 2(x - 1)

Раскроем скобки:

-2 = 2x - 2

Перенесём число в левую часть:

0 = 2x

x = 0 / 2

x = 0

Проверка ОДЗ: x = 0, x != 1, условие выполняется.

Ответ: 0

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 25 билетов, Стас не выучил 8 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 25.

Благоприятных исходов: 17 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{17}{25}$ = 0,68.

Ответ: 0,68.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = -\dfrac{12}{x}$

Б) $y = -\dfrac{3}{4}x - 1$

В) $y = -x^2 + 5$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1200 кг обладает кинетической энергией 86,4 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 86,4·1000 = 86 400 Дж.

v = √(2·86 400/1200) = 12.

Ответ: 12.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x − 0,2 \leqslant 1,6 \\ 6x + 1,2 \geqslant 0,6 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-0,1;1,8]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 12 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 12, d = -5.

Последний положительный член прогрессии равен 2, значит секунд движения до полной остановки было 3.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 3·(12 + 2)/2 = 21.

Ответ: 21.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 3/5, AB = 10. Найдите AC.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.

Значит, AC = AB · sin B = 10 · $\frac{3}{5}$ = 6.

Ответ: 6.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Периметр треугольника равен 120, одна из сторон равна 7, а радиус вписанной в него окружности равен 10. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.

p = 120 / 2 = 60.

S = p·r = 60 · 10 = 600.

Ответ: 600.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 114°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Большая диагональ ромба биссектрисой его тупого угла.

Следовательно, искомый угол равен 114° / 2 = 57°.

Ответ: 57.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=3: t=(7−3)/(7−1)=$\frac{2}{3}$. x_A=3, x_B=5. AB=2.

Ответ: 2.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно: cos α = прилежащий катет / гипотенуза.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-17}{(x+3)^2-7}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-17<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x+3)^2-7<0$.

Шаг 2. $(x+3)^2<7$.

Шаг 3. $-\sqrt{7}<x+3<\sqrt{7}$.

Шаг 4. Вычитаем 3: $-3-\sqrt{7}<x<-3+\sqrt{7}$.

Ответ: $(-3-\sqrt{7};\; -3+\sqrt{7})$.

Правильный ответ: (-3-√7;-3+√7)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость по течению = v + u, против = v − u; сумма времён двух участков = total.

Шаг 1. Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.

По течению: x + 5. Против течения: x − 5.

Шаг 2. Составляем уравнение на суммарное время:

56/(x + 5) + 54/(x − 5) = 5.

Шаг 3. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:

56(x−5) + 54(x+5) = 5(x²−25).

Шаг 4. Раскрываем и группируем: квадратное уравнение относительно x.

Шаг 5. Решение (положительный корень): x = 23.

Шаг 6. Проверка: $\frac{56}{28}$ = 2 ч, $\frac{54}{18}$ = 3 ч, сумма 5 ч. ✓

Ответ: 23.

Правильный ответ: 23

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 4|x| + 10\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 4x + 10.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 4x + 10.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 10. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 10.

Проверка: при m = 10 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 69, BC = 15, CF : DF = 5 : 4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 5:4 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 5:4 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (4·15 + 5·69) / (5+4).

Шаг 3. EF = (60 + 345) / 9 = 405 / 9 = 45.

Ответ: 45.

Правильный ответ: 45

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.

Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 17, а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 10.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 10.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 10 + 10 = 20.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 17 · 20 = 340.

Ответ: 340.

Правильный ответ: 340

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.