Загрузка заданий...
Вариант 3588 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,6 : 75 : 0,008$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,6 : 75 : 0,008\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,6) : 75 = 0,008\).
Шаг 2: \((0,008) : 0,008 = 1\).
Ответ: \(1\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что 5 < a < 6.
Проверим варианты ответа:
1) a - 6 < 0 ⇔ a < 6 — верно.
2) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
3) a - 6 > 0 ⇔ a > 6 — неверно.
4) a < 5 ⇔ a < 5 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{7} \cdot 4\sqrt{5} \cdot \sqrt{35}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 3√7 · 4√5 · √35.
Перемножим коэффициенты: 3 · 4 = 12.
Подкоренные выражения дают: √7 · √5 · √35 = √(7·5·35) = √(1225) = 35.
Тогда всё выражение равно 12 · 35 = 420.
Ответ: 420.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -2x - y = 8 \\ x + y = -5 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-2x - y = 8
x + y = -5
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 1, а второе — на -2.
Получим:
\((-2x - y = 8) \cdot 1\): -2x - 1y = 8
\((x + y = -5) \cdot -2\): -2x - 2y = 10
Вычтем второе уравнение из первого:
1y = -2
y = -2 / 1 = -2
Подставим y = -2 в первое уравнение:
-2x - y = 8
Получаем x = -3.
Ответ: (-3;-2)
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 50 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 45 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{45}{50}\) = 0,9.
Ответ: 0,9.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = \dfrac{1}{x}\)
Б) \(y = x + 1\)
В) \(y = 2x^2 + 14x + 24\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 180,5 Вт, а сила тока равна 9,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 180,5/(9,5²) = 2.
Ответ: 2.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
3x - 10 > 5x - 1
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: 3x - 10 > 5x - 1.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x < 9.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -2: x < -4,5.
Значит, x меньше -4,5.
Этому соответствует промежуток (-∞;-4,5).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 6 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 6, q = 3.
За 60 минут пройдёт 3 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 6·3^3 = 162 мг.
Ответ: 162.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Биссектриса равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равна a·√3 / 2.
Значит, a·√3 / 2 = 13√3.
Отсюда a / 2 = 13, значит a = 26.
Ответ: 26.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 112°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.
Следовательно, ∠CBD = 33°.
Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 112° - 33° = 79°.
Ответ: 79.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Площадь параллелограмма равна 32, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.
h₁ = 32 / 8 = 4, h₂ = 32 / 16 = 2.
Требуемая высота равна 4.
Ответ: 4.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 7, высота равна 4.
S = 7 · 4 = 28.
Ответ: 28.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно: смежные углы могут быть оба по 90°.
2) Верно: площадь квадрата равна произведению двух смежных сторон.
3) Неверно: хорды одной окружности вообще говоря имеют разные длины.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(40a-58b+74\), если \(\dfrac{8a-6b+9}{6a-8b+9}=8\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(40a-58b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(8a-6b+9 = 8(6a-8b+9)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(8a-6b+9 = 48a-64b+72\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 40a-58b+63\), откуда \(40a-58b = -63\).
Шаг 4. Вычисляем: \(40a-58b+74 = -63+74 = 11\).
Ответ: 11.
Правильный ответ: 11
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные — 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 30% воды, значит сухого вещества 70%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 72 кг сухих фруктов:
72 · 70/100 = 50,4 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 88% воды, значит сухого вещества 12%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,12·x = 50,4.
x = 50,4 / 0,12 = 420 кг.
Ответ: 420.
Правильный ответ: 420
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| + 4\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x + 4.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x + 4.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 4. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 4.
Проверка: при m = 4 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 51. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.
Шаг 1. Второй катет: √(51² − 24²) = √2025 = 45.
Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 24·\(\frac{45}{2}\) = 540.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу 51 и высоту h к ней: S = 51·h/2.
Шаг 4. Из равенства площадей: h = 24·\(\frac{45}{51}\) = 360/17.
Ответ: 360/17.
Правильный ответ: 360/17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.
Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 90, MD = 69, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.
Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.
Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).
Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?
Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).
Шаг 3. AM = AD − MD = 90 − 69 = 21.
AM² = 441.
AH = AM² / AD = 441 / 90 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).
Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 90 − 4761/90 = 37,1.
Ответ: 37,1.
Правильный ответ: 37,1
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.