Загрузка заданий...
Вариант 3587 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/60 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 225.
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 235/50 R17?
Решение
Разбор: Шины →
В маркировке 235/50 R17 ширина шины равна 235 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 235 · 50 / 100 = 117.5 мм. Ответ: 117.5.
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R17?
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/60 R16 и нового колеса 225/50 R17. Ответ: 7.6.
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/60 R16 получаем диаметр 664.4 мм. Ответ: 664.4.
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Разбор: Шины →
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/60 R16 и колеса 225/50 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.1.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$3,5 - \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(3,5 - \frac{1}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((3,5) - \frac{1}{5} = 3,3\).
Получили результат \(3,3\).
Ответ: \(3,3\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 4 и 5.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-14}{15}\) ≈ -0,9333
2) 2,74 ≈ 2,74
3) 3,5 ≈ 3,5
4) \(\sqrt{17}\) ≈ 4,1231
Точке A соответствует вариант 4.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$7^{-1} \cdot (7^2)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 7^(-1) · (7^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^2)^2 = 7^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 7^-1 · 7^4 = 7^3.
Получаем 7^3 = 343.
Ответ: 343.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{(-7x - 1)}{5} - \frac{(7x + 1)}{2} - 4x = -63$$
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: (-7x - 1)/5 - (7x + 1)/2 - 4x = -63
Домножим обе части на НОК знаменателей 5 и 2, то есть на 10.
Получим:
(-14x - 2) - (35x + 5) - 40x = -630
Приведём подобные слагаемые:
-89x - 7 = -630
Перенесём число в правую часть:
-89x = -623
Разделим обе части на -89:
x = -623 / -89
x = 7
Ответ: 7
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Стас не выучил 26 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 24 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{24}{50}\) = 0,48.
Ответ: 0,48.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) \(y = -2x - 3\)
2) \(y = \dfrac{1}{2}x\)
3) \(y = -2x\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 321.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 10 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 294 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 294/(9,8·10) = 3.
Ответ: 3.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 ≤ 16
1
2
3
4
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Из неравенства x² <= 16 получаем границы x = ±4. Верное решение: [-4;4]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 480 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 480, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 20 см, а после 4-го уже меньше.
Ответ: 4.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 66° и BM = AM = MC.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Из условия BM = AM = MC.
Тогда треугольник BMC равнобедренный, так как BM = MC.
Поэтому ∠MBC = ∠BCM = 66°.
Следовательно, ∠BMC = 180° - 2·66° = 48°.
Точки A, M, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB = 180° - 48° = 132°.
В треугольнике ABM стороны AM и BM равны, значит углы при основании равны.
Пусть ∠A = x. Тогда 2x + 132° = 180°.
Отсюда x = 90° - 66° = 24°.
Ответ: 24.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 16√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Сторона квадрата равна диаметру окружности.
a = 2r = 2 · 16√2 = 32√2.
Диагональ квадрата равна a√2.
d = 32√2 · √2 = 64.
Ответ: 64.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 1 и 5, а высота равна 7. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
m = (1 + 5) / 2 = 3.
Ответ: 3.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 12 и 4.
Искомое отношение площадей равно (12 / 4)² = 9.
Ответ: 9.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно.
2) Неверно: вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.
3) Неверно.
Ответ: 1.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{x-2}-6=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: делаем замену \(t=\frac{1}{x-2}\) — сводим к квадратному.
Шаг 1. После замены \(\frac{1}{(x-2)^2}=t^2\). Уравнение:
\(t^2-t-6=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t-3)(t+2)=0\).
Корни: \(t_1=3\), \(t_2=-2\).
Шаг 3. Обратная замена. Из \(\frac{1}{x-2}=t\) получаем \(x=2+\frac{1}{t}\).
Если \(t=3\): \(x-2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{7}{3}\).
Если \(t=-2\): \(x-2=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne2\) — оба корня удовлетворяют.
Ответ: \(\dfrac{3}{2};\quad \dfrac{7}{3}\).
Правильный ответ: 3/2;7/3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 90 кг получается раствор с концентрацией 42%:
48·x + 42·y = 90·0,42 = 37,8 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 40%:
(x + y)/2 = 0,40 ⟹ x + y = 0,80 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 0,80 − x. Подставляем в (1):
48·x + 42·(0,80 − x) = 37,8
48x + 33,6 − 42x = 37,8
6x = 4,2 ⟹ x = 0,70.
y = 0,80 − 0,70 = 0,10.
Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 42·0,10 = 4,2 кг.
Ответ: 4,2.
Правильный ответ: 4,2
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x-4,& x<3,\\-1{,}5x+4{,}5,& 3\le x\le 4,\\1{,}5x-7{,}5,& x>4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {-1,5}∪[-1;0].
Ответ: {-1,5}∪[-1;0].
Правильный ответ: {-1,5}∪[-1;0]
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 20, BF = 15.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.
Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).
Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.
Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.
Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(20² + 15²) = √625 = 25.
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.
Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 44 и CD = 8 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.
Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.
По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.
⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.
Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).
α + β = 60°.
Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.
AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.
Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).
При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.
AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).
Шаг 5. 44² + 8² + 44·8 = 3R².
2352 = 3R² ⟹ R² = 2352/3.
R = 28.
Ответ: 28.
Правильный ответ: 28
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.