Загрузка заданий...

Вариант 3600 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Старая	Николаево	Зябликово
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.

Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.

От Осиновка до Старая: 21 клеток · 1 км = 21 км.

От Старая до Николаево: 20 клеток · 1 км = 20 км.

Складываем: 21 + 20 = 41 км.

Ответ: 41.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 20 клеток, по вертикали 21 клетка.

Значит, катеты равны 20 км и 21 км.

Это треугольник со сторонами 20–21–29, поэтому расстояние по прямой равно 29 км.

Ответ: 29.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 29 км.

Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 29 / 10 ч.

В минутах это 174 мин.

Ответ: 174.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Осиновка	Николаево	Зябликово	Старая
Молоко (1 л)	42	49	52	48
Хлеб (1 батон)	27	29	32	38
Сыр «Российский» (1 кг)	259	250	255	264
Говядина (1 кг)	328	318	324	319
Картофель (1 кг)	34	19	24	30

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216

Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147

Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199

Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.

Ответ: 1 147.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.

Шаг 2: $(\frac{3}{8}) - \frac{1}{5} = \frac{7}{40}$.

Получили дробь $\frac{7}{40}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,175$.

Ответ: $0,175$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу 1,499. Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число 1,499 по своему значению совпадает с точкой B.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{180} + \sqrt{45})\sqrt{5}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√180 + √45)·√5.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √180 = 6√5, √45 = 3√5.

Тогда получаем (6√5 + 3√5)·√5 = 9√5·√5.

Так как √5·√5 = 5, имеем 9·5 = 45.

Ответ: 45.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 2x + 20 = 24

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: 2x + 20 = 24

Перенесём 20 в правую часть:

2x = 24 - 20

2x = 4

Разделим обе части на 2:

x = 4 / 2

x = 2

Ответ: 2

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 25 билетов, Егор не выучил 22 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 25.

Благоприятных исходов: 3 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{3}{25}$ = 0,12.

Ответ: 0,12.

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a > 0, c < 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 321.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 185 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_F = 185 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(185 − 32)/9 = 85.

Ответ: 85.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

8x - x² > 0

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Разложим: 8x - x² = x(8 - x). Нули: 0 и 8. Верное решение: (0;8). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 10 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 100 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 10, q = 3.

За 100 минут пройдёт 5 промежутков по 20 минут.

Получаем массу 10·3^5 = 2430 мг.

Ответ: 2430.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 122°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

Так как AB = BC, треугольник равнобедренный, а углы при основании равны.

Сумма углов при основании равна 180° - 122° = 58°.

Каждый из них равен 58° : 2 = 29°.

Ответ: 29.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 135°, AB = 14√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

По теореме синусов AB = 2R·sin C.

Следовательно, R = AB / (2 sin 135°).

Подстановка даёт R = 14.

Ответ: 14.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание равно 3 + 8 = 11.

S = 11 · 4 = 44.

Ответ: 44.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

По клеткам основания равны 3 и 9, высота равна 4.

S = (3 + 9) / 2 · 4 = 24.

Ответ: 24.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 2.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $34a-43b+28$, если $\dfrac{6a-5b+2}{5a-6b+2}=8$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $34a-43b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $6a-5b+2 = 8(5a-6b+2)$.

Шаг 2. Раскрываем: $6a-5b+2 = 40a-48b+16$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 34a-43b+14$, откуда $34a-43b = -14$.

Шаг 4. Вычисляем: $34a-43b+28 = -14+28 = 14$.

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 112 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 9 км/ч. По пути он сделал остановку на 4 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).

Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 9) км/ч.

Шаг 2. Время в пути одинаковое с учётом остановки:

112/x = 112/(x+9) + 4.

Шаг 3. Переносим и умножаем на x·(x+9): 4x² + 36x − 1008 = 0.

Шаг 4. D = 17424, √D = 132. x = (−36+132)/(2·4) = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| + 8\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x + 8.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x + 8.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 8.

Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 10, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12 и 5.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. По хорде AB: R² = 12² + (AB/2)² = 12² + 5² = 169. R = 13.

Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 5 от центра:

(CD/2)² = R² − 5² = 169 − 25 = 144.

CD/2 = 12.

Шаг 3. CD = 2 · 12 = 24.

Ответ: 24.

Правильный ответ: 24

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы MA и NB к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ MA ∥ NB.

Шаг 2. В треугольниках TMA и TNB (T — точка на MN):

∠ATM = ∠BTN (вертикальные), MA ∥ NB ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TM/TN = r:s.

Шаг 3. TM/TN = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как r:s. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.

Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=45 и R=90.

O₁O₂ = r + R = 135 (внешнее касание).

Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.

Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.

Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).

Аналогично CD ⊥ O₁O₂.

Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.

По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(90·45) = 2√4050 = 90√2.

Ответ: 90√2.

Правильный ответ: 90√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.