Загрузка заданий...

Вариант 3787 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Старая	Николаево	Зябликово
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.

Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.

От Осиновка до Старая: 21 клеток · 1 км = 21 км.

От Старая до Николаево: 20 клеток · 1 км = 20 км.

Складываем: 21 + 20 = 41 км.

Ответ: 41.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 20 клеток, по вертикали 21 клетка.

Значит, катеты равны 20 км и 21 км.

Это треугольник со сторонами 20–21–29, поэтому расстояние по прямой равно 29 км.

Ответ: 29.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 29 км.

Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 29 / 10 ч.

В минутах это 174 мин.

Ответ: 174.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Осиновка	Николаево	Зябликово	Старая
Молоко (1 л)	42	49	52	48
Хлеб (1 батон)	27	29	32	38
Сыр «Российский» (1 кг)	259	250	255	264
Говядина (1 кг)	328	318	324	319
Картофель (1 кг)	34	19	24	30

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216

Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147

Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199

Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.

Ответ: 1 147.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{4} - \frac{4}{1} + 30$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{4} - \frac{4}{1} + 30$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{4}) - \frac{4}{1} = -3,75$.

Шаг 2: $(-3,75) + 30 = 26,25$.

Получили результат $26,25$.

Ответ: $26,25$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a - 5 < 0

a - 5 > 0

$\frac{1}{a} < 0$

6 - a < 0

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 5 < a < 6.

Проверим варианты ответа:

1) a - 5 < 0 ⇔ a < 5 — неверно.

2) a - 5 > 0 ⇔ a > 5 — верно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) 6 - a < 0 ⇔ a > 6 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(7\sqrt{6})^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (7√6)².

Используем свойство степени произведения: (7√6)² = 7² · (√6)².

Получаем 49 · 6 = 294.

Ответ: 294.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -6x - 5y = -49 \\ 8x - 4y = 12 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

-6x - 5y = -49

8x - 4y = 12

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 8, а второе — на -6.

Получим:

$(-6x - 5y = -49) \cdot 8$: -48x - 40y = -392

$(8x - 4y = 12) \cdot -6$: -48x + 24y = -72

Вычтем второе уравнение из первого:

-64y = -320

y = -320 / -64 = 5

Подставим y = 5 в первое уравнение:

-6x - 5y = -49

Получаем x = 4.

Ответ: (4;5)

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события A.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Всего исходов: 48. Вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=18/48=0,375$.

Ответ: 0,375

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

Коэффициенты

А) k > 0, b > 0

Б) k > 0, b < 0

В) k < 0, b > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 321.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 17 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим C = 0,0001 и U = 17 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·17² / 2 = 0,0145.

Ответ: 0,0145.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x + 4 \leqslant 1 \\ 5x + 0,9 > 13,9 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 8° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 9 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -6° C.

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Температура уменьшается равномерно на 8° C в минуту.

Через 9 минут изменение составит 8·9 = 72° C.

Итоговая температура: -6 - 72 = -78.

Ответ: -78.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 13 и 4. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 13 · 4 = $\frac{52}{2}$ = 26.

Ответ: 26.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружность с центром в точке O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно √3. Найдите сторону треугольника.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Расстояние от центра описанной окружности равностороннего треугольника до стороны равно радиусу вписанной окружности r.

Для равностороннего треугольника a = 2r√3.

Подставляя r = √3, получаем a = 6.

Ответ: 6.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 5√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 5√2 · √2 = 10.

Ответ: 10.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 9 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.

Ответ: 15.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно: не каждая биссектриса.

2) Верно.

3) Неверно: касательная перпендикулярна радиусу.

Ответ: 2.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x}-10=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x}$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+3t-10=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+5)(t-2)=0$.

Корни: $t_1=-5$, $t_2=2$.

Шаг 3. Обратная замена:

Если $t=-5$: $x=-\dfrac{1}{5}$.

Если $t=2$: $x=\dfrac{1}{2}$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne0$ — оба корня подходят.

Ответ: $-\dfrac{1}{5};\quad \dfrac{1}{2}$.

Правильный ответ: -1/5;1/2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 2 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 9 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.

Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 5) км/ч.

Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 2 км.

Длина круга = x + 2 км.

Шаг 3. Второй пробежал круг 9 мин назад, то есть за (1 − $\frac{9}{60}$) = 0,85 ч.

Длина круга = (x + 5) · 0,85 км.

Шаг 4. Приравниваем: x + 2 = (x + 5) · 0,85.

Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 15 км/ч.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+2,25)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+2,25),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-3,25; -3; 3 $.

Ответ: $ -3,25; -3; 3 $.

Правильный ответ: -3,25; -3; 3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.

Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.

∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).

По двум углам: △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.

По условию AC = 1,2·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.

KP = AK · BC/AC = AK / 1,2 = 18 / 1,2 = 15.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 220 ⟹ a+b = 110.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·2420/110 = 44.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=110 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=44:

a = 22, b = 88.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 44·22/110 = 8,8.

Ответ: 8,8.

Правильный ответ: 8,8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.