Загрузка заданий...

Вариант 3896 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Новая	Абрамово	Таловка
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.

Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.

Следовательно, ответ: 324.

Ответ: 324

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.

От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.

От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.

Складываем: 32 + 24 = 56 км.

Ответ: 56.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 24 км и 32 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.

Ответ: 40.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 40 км.

Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.

В минутах это 200 мин.

Ответ: 200.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Грушёвка	Абрамово	Таловка	Новая
Молоко (1 л)	47	54	58	51
Хлеб (1 батон)	39	24	43	27
Сыр «Российский» (1 кг)	258	244	251	255
Говядина (1 кг)	335	333	325	324
Картофель (1 кг)	17	27	22	21

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Грушёвка: 2·47=94 + 3·39=117 + 2·335=670 + 4·17=68 + 1·258=258 = 1 207

Абрамово: 2·54=108 + 3·24=72 + 2·333=666 + 4·27=108 + 1·244=244 = 1 198

Таловка: 2·58=116 + 3·43=129 + 2·325=650 + 4·22=88 + 1·251=251 = 1 234

Новая: 2·51=102 + 3·27=81 + 2·324=648 + 4·21=84 + 1·255=255 = 1 170

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 170 руб.

Ответ: 1 170.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,3 : 0,3$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,3 : 0,3$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,3) : 0,3 = 1$.

Ответ: $1$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a - 1 > 0

2 - a < 0

a < 1

$\frac{1}{a} < 0$

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 1 < a < 2.

Проверим варианты ответа:

1) a - 1 > 0 ⇔ a > 1 — верно.

2) 2 - a < 0 ⇔ a > 2 — неверно.

3) a < 1 ⇔ a < 1 — неверно.

4) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{12} - 5)(\sqrt{12} + 5)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√12 - 5)(√12 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√12)² - 5² = 12 - 25 = -13.

Ответ: -13.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-6}{x - 3} = 1$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: -6/(x - 3) = 1

Область допустимых значений: x != 3.

Умножим обе части уравнения на x - 3:

-6 = 1(x - 3)

Раскроем скобки:

-6 = 1x - 3

Перенесём число в левую часть:

-3 = 1x

x = -3 / 1

x = -3

Проверка ОДЗ: x = -3, x != 3, условие выполняется.

Ответ: -3

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cup B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Всего исходов: 32. Вероятность события $A \cup B$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=16/32=0,5$.

Ответ: 0,5

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = -\dfrac{1}{2}x + 2$

2) $y = -2x - 3$

3) $y = -2x + 2$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 312.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 40 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 3 920 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).

m = 3 920/(9,8·40) = 10.

Ответ: 10.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 5x + 1,8 \leqslant -1,2 \\ 3x − 0,6 > -2,4 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 240 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 240, q = $\frac{1}{2}$.

Проверяем последовательно: после 5-го отскока высота ещё не меньше 10 см, а после 6-го уже меньше.

Ответ: 6.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 16° и AK = CK.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.

Но ∠ACK = ∠C = 16°.

Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·16° = 32°.

Тогда ∠B = 180° - 32° - 16° = 132°.

Ответ: 132.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 50°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.

Поэтому ∠AOB = 180° - 50° = 130°.

Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.

Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 130° / 2 = 65°.

Ответ: 65.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.

sin 150° = $\frac{1}{2}$.

h = 4 · $\frac{1}{2}$ = 2.

Ответ: 2.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →

Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.

По клеткам AC = 8.

Средняя линия равна 8 / 2 = 4.

Ответ: 4.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: данных недостаточно без уточнения положения угла.

Ответ: 2.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-16}{(x+2)^2-5}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-16<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x+2)^2-5<0$.

Шаг 2. $(x+2)^2<5$.

Шаг 3. $-\sqrt{5}<x+2<\sqrt{5}$.

Шаг 4. Вычитаем 2: $-2-\sqrt{5}<x<-2+\sqrt{5}$.

Ответ: $(-2-\sqrt{5};\; -2+\sqrt{5})$.

Правильный ответ: (-2-√5;-2+√5)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 70 кг получается раствор с концентрацией 73%:

40·x + 30·y = 70·0,73 = 51,1 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 72%:

(x + y)/2 = 0,72 ⟹ x + y = 1,44 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 1,44 − x. Подставляем в (1):

40·x + 30·(1,44 − x) = 51,1

40x + 43,2 − 30x = 51,1

10x = 7,9 ⟹ x = 0,79.

y = 1,44 − 0,79 = 0,65.

Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 30·0,65 = 19,5 кг.

Ответ: 19,5.

Правильный ответ: 19,5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| + 8\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x + 8.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x + 8.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 8.

Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 5, CK = 18.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.

Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.

Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).

Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.

Шаг 2. AB = BK = 5.

Шаг 3. BC = BK + CK = 5 + 18 = 23.

Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(5 + 23) = 56.

Ответ: 56.

Правильный ответ: 56

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Шаг 1. Точка K лежит на биссектрисе угла A.

⟹ расстояние от K до обеих сторон угла A одинаково.

Шаг 2. Точка K лежит на биссектрисе угла B.

⟹ расстояние от K до обеих сторон угла B одинаково.

Шаг 3. Объединяя: расстояние от K до каждой из прямых AB, BC и AD одинаково. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 18, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 132° и 93°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 132° − 90° = 42°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 93° − 90° = 3°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 42° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 3° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 3° = 87°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 87° − 42° = 45°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(45°) = 18 / sin(45°) = 18√2.

Ответ: 18√2.

Правильный ответ: 18√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.