Загрузка заданий...

Вариант 408 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Старая	Николаево	Зябликово
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.

Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.

От Осиновка до Старая: 21 клеток · 1 км = 21 км.

От Старая до Николаево: 20 клеток · 1 км = 20 км.

Складываем: 21 + 20 = 41 км.

Ответ: 41.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 20 клеток, по вертикали 21 клетка.

Значит, катеты равны 20 км и 21 км.

Это треугольник со сторонами 20–21–29, поэтому расстояние по прямой равно 29 км.

Ответ: 29.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 29 км.

Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 29 / 10 ч.

В минутах это 174 мин.

Ответ: 174.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Осиновка	Николаево	Зябликово	Старая
Молоко (1 л)	42	49	52	48
Хлеб (1 батон)	27	29	32	38
Сыр «Российский» (1 кг)	259	250	255	264
Говядина (1 кг)	328	318	324	319
Картофель (1 кг)	34	19	24	30

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216

Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147

Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199

Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.

Ответ: 1 147.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} : 0,1$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} : 0,1$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) : 0,1 = 10$.

Получили результат $10$.

Ответ: $10$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

5 - a > 0

a > 6

-a < -5

$\frac{1}{a} < 0$

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 5 < a < 6.

Проверим варианты ответа:

1) 5 - a > 0 ⇔ a < 5 — неверно.

2) a > 6 ⇔ a > 6 — неверно.

3) -a < -5 ⇔ a > 5 — верно.

4) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} + \sqrt{32})\sqrt{2}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√8 + √32)·√2.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √8 = 2√2, √32 = 4√2.

Тогда получаем (2√2 + 4√2)·√2 = 6√2·√2.

Так как √2·√2 = 2, имеем 6·2 = 12.

Ответ: 12.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 6x + 4y = 42 \\ -5x + 2y = -19 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

6x + 4y = 42

-5x + 2y = -19

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -5, а второе — на 6.

Получим:

$(6x + 4y = 42) \cdot -5$: -30x - 20y = -210

$(-5x + 2y = -19) \cdot 6$: -30x + 12y = -114

Вычтем второе уравнение из первого:

-32y = -96

y = -96 / -32 = 3

Подставим y = 3 в первое уравнение:

6x + 4y = 42

Получаем x = 5.

Ответ: (5;3)

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.5 и 0.5: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.6, по нижнему 0.85.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.5 · 0.6 = 0.3.

Нижний путь: 0.5 · 0.85 = 0.425.

Складываем: 0.3 + 0.425 = 0.725.

Ответ: 0,725

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = -x - 3$

2) $y = 2x - 3$

3) $y = 3x - 2$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 213.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 14, sinα = 0,231, а S = 29,077.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).

d₂ = 2·29,077/(14·0,231) = 18.

Ответ: 18.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-x + 12 > 4x + 7

(1;+∞)

(0;+∞)

(-∞;-3,8)

(-∞;1)

Решение

Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →

Решим неравенство: -x + 12 > 4x + 7.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -5x < -5.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -5: x < 1.

Значит, x меньше 1.

Этому соответствует промежуток (-∞;1).

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 30 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 320 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 30 минут пройдёт 5 промежутков по 6 минут.

Тогда масса станет равна 320·($\frac{1}{2}$)^5 = 10 мг.

Ответ: 10.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите высоту этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 12√3 · √3 / 2 = 12·3 / 2 = 18.

Ответ: 18.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 12, BC = 5, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.

По теореме Пифагора AB = 13.

Следовательно, R = AB / 2 = 13 / 2 = 6,5.

Ответ: 6,5.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Площадь параллелограмма равна 48, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.

h₁ = 48 / 8 = 6, h₂ = 48 / 16 = 3.

Требуемая высота равна 3.

Ответ: 3.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 5 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

Ответ: 13.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $19a-11b+55$, если $\dfrac{2a-3b+7}{3a-2b+7}=7$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $19a-11b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $2a-3b+7 = 7(3a-2b+7)$.

Шаг 2. Раскрываем: $2a-3b+7 = 21a-14b+49$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 19a-11b+42$, откуда $19a-11b = -42$.

Шаг 4. Вычисляем: $19a-11b+55 = -42+55 = 13$.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 90 км/ч, а вторую — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.

Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/90 ч.

Шаг 2. Время на второй половине: S/110 ч.

Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/90 + S/110) = 2 / ($\frac{1}{90}$ + 1/110).

Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·90·110 / (90 + 110) = 19800 / 200 = 99 км/ч.

Ответ: 99.

Правильный ответ: 99

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=-4-\dfrac{x+1}{x^2+1x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=-4-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-1 $.

У функции $ y=-4-\frac1x $ нет значений $ y=-4 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=-3 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=-4; -3 $.

Ответ: -4; -3.

Правильный ответ: -4; -3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 105 и 145. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.

Шаг 1. Второй катет: √(145² − 105²) = √10000 = 100.

Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 105·100/2 = 5250.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу 145 и высоту h к ней: S = 145·h/2.

Шаг 4. Из равенства площадей: h = 105·100/145 = 2100/29.

Ответ: 2100/29.

Правильный ответ: 2100/29

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L — середина AB.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов C и D перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠C + ∠D = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠C/2 + ∠D/2 = 90°.

Значит в △L (треугольник при пересечении биссектрис) угол при L равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла C.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до L равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем L — середина AB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 18, а расстояние от точки K до стороны AB равно 6.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 6.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 6.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 6 + 6 = 12.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 18 · 12 = 216.

Ответ: 216.

Правильный ответ: 216

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.