Загрузка заданий...
Вариант 448 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.
| Масса (кг) | 15 | 40 | 48 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.
2
Задание 2
1 балл
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.
По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.
Ответ: 65.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,2 \cdot 0,08$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,2 \cdot 0,08\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,2) \cdot 0,08 = 0,016\).
Ответ: \(0,016\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел \(\frac{-19}{4}\), -2,1, 0,681, \(\sqrt{24}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -3 и -2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-19}{4}\) ≈ -4,75
2) -2,1 ≈ -2,1
3) 0,681 ≈ 0,681
4) \(\sqrt{24}\) ≈ 4,899
Точке A соответствует вариант 2.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$5\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{25}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 5√5 · 3√5 · √25.
Перемножим коэффициенты: 5 · 3 = 15.
Подкоренные выражения дают: √5 · √5 · √25 = √(5·5·25) = √(625) = 25.
Тогда всё выражение равно 15 · 25 = 375.
Ответ: 375.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 + 2x - 3 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Разбор: Квадратное уравнение →
Решим уравнение: x2 + 2x - 3 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 2, c = -3.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 2² - 4·1·-3 = 16.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-2 - √16) / 2 = -3
x₂ = (-2 + √16) / 2 = 1
Ответ: -3;1
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Оскар не выучил 23 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 27 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{27}{50}\) = 0,54.
Ответ: 0,54.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k < 0, b > 0
2) k > 0, b < 0
3) k > 0, b > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 213.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 324 Вт, а сила тока равна 6 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 324/(6²) = 9.
Ответ: 9.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 6x + 0,9 > -15,9 \\ -2,4 − 2x \geqslant -1,4 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-2,8;-0,5]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,3 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,2 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 8 секунд движения?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,3, d = 0,2, n = 8.
Сумма первых 8 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 8.
Ответ: 8.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 21, сторона BC равна 33, сторона AC равна 50. Найдите MN.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией.
Средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
Поэтому MN = AC : 2 = 50 : 2 = 25.
Ответ: 25.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 62°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
∠C = 180° - 62° = 118°.
Ответ: 118.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 35°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.
Следовательно, острый угол равен 2 · 35° = 70°.
Ответ: 70.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=5: t=(7−5)/(7−1)=\(\frac{1}{3}\). x_A=1+\(\frac{1}{3}\)·3=2, x_B=4+\(\frac{2}{3}\)·3=6. AB=4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Неверно: сумма всех углов 180°.
3) Верно.
Ответ: 3.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}x^2+3y^2=31,\\2x^2+6y^2=31x.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: умножим первое уравнение на 2.
Шаг 1. Умножаем первое на 2: \(2x^2+6y^2=62\).
Шаг 2. По второму: \(2x^2+6y^2=31x\).
Шаг 3. Приравниваем правые части:
\(62=31x\Rightarrow x=2\).
Шаг 4. Подставляем \(x=2\):
\(4+3y^2=31\Rightarrow y^2=9\Rightarrow y=\pm3\).
Ответ: \((2;\,-3);\ (2;\,3)\).
Правильный ответ: (2;-3);(2;3)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а последние 180 км — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.
Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):
t₁ = 200/50 = 4 ч,
t₂ = 180/90 = 2 ч,
t₃ = 180/45 = 4 ч.
Шаг 2. Общее расстояние: 200 + 180 + 180 = 560 км.
Шаг 3. Общее время: 4 + 2 + 4 = 10 ч.
Шаг 4. Средняя скорость: 560 / 10 = 56 км/ч.
Ответ: 56.
Правильный ответ: 56
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| + 3\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x + 3.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x + 3.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 3. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 3.
Проверка: при m = 3 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: 3.
Правильный ответ: 3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 30, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.
Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. KP/BC = AP/AB.
По условию BC в 1,2 раза меньше AB, то есть AB = 1,2·BC.
KP = AP · BC/AB = AP / 1,2 = 30 / 1,2 = 25.
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что ∠AA₁B₁ = ∠ABB₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁B = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AB виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AB.
Шаг 2. BB₁ — высота, поэтому ∠AB₁B = 90°. Значит и точка B₁ лежит на окружности с диаметром AB.
Шаг 3. Итак, точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ опираются на одну и ту же дугу AB₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 18, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 132° и 93°.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.
Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.
Тогда AD = 2R (диаметр).
Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).
∠DBC = ∠B − 90° = 132° − 90° = 42°.
Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 93° − 90° = 3°.
Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 42° (вписанные углы на одну дугу CD).
∠ADB = ∠ACB = 3° (вписанные углы на одну дугу AB).
∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 3° = 87°.
Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 87° − 42° = 45°.
Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).
AD = BC / sin(45°) = 18 / sin(45°) = 18√2.
Ответ: 18√2.
Правильный ответ: 18√2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.