Загрузка заданий...

Вариант 449 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/60 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 225.

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 235/50 R17?

Решение

Разбор: Шины →

В маркировке 235/50 R17 ширина шины равна 235 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 235 · 50 / 100 = 117.5 мм. Ответ: 117.5.

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R17?

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/60 R16 и нового колеса 225/50 R17. Ответ: 7.6.

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/60 R16 получаем диаметр 664.4 мм. Ответ: 664.4.

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R17? Результат округлите до десятых.

Решение

Разбор: Шины →

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/60 R16 и колеса 225/50 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.1.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,35 \cdot 62,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,35 \cdot 62,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,35) \cdot 62,5 = 21,875$.

Ответ: $21,875$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел -2,6, $\frac{-23}{13}$, $\frac{\sqrt{6}}{2}$, $\frac{18}{11}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

-2,6

$\frac{-23}{13}$

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

$\frac{18}{11}$

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -3 и -2.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -2,6 ≈ -2,6

2) $\frac{-23}{13}$ ≈ -1,7692

3) $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ≈ 1,2247

4) $\frac{18}{11}$ ≈ 1,6364

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{11} \cdot \sqrt{110}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 3√10 · 2√11 · √110.

Перемножим коэффициенты: 3 · 2 = 6.

Подкоренные выражения дают: √10 · √11 · √110 = √(10·11·110) = √(12100) = 110.

Тогда всё выражение равно 6 · 110 = 660.

Ответ: 660.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 5 + 5(-3x - 7) = -6x - 102

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: 5 + 5(-3x - 7) = -6x - 102

Раскроем скобки:

5 + 5(-3x - 7) = -6x - 102

5 - 15x - 35 = -6x - 102

Приведём подобные слагаемые в левой части:

-15x - 30 = -6x - 102

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-9x = -72

Разделим обе части на -9:

x = -72 / -9

x = 8

Ответ: 8

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.4 и 0.6: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.15, по нижнему 0.8.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.4 · 0.15 = 0.06.

Нижний путь: 0.6 · 0.8 = 0.48.

Складываем: 0.06 + 0.48 = 0.54.

Ответ: 0,54

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c > 0

2) a > 0, c < 0

3) a < 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 312.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 12, sinα = 0,231, а S = 20,769.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·20,769/(12·0,231) = 15.

Ответ: 15.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x + 3,5 > 3,2 \\ x + 0,4 < 0,1 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 19, d = 3, n = 12.

Сначала найдём последний ряд: a12 = 19 + (12 - 1)·3 = 52.

Сумма первых 12 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 12·(19 + 52)/2 = 426.

Ответ: 426.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = 12, BC = 10, sin ∠ABC = 8/15. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:

S = $\frac{1}{2}$ · AB · BC · sin∠ABC.

S = $\frac{1}{2}$ · 12 · 10 · $\frac{8}{15}$ = 960/30 = 32.

Ответ: 32.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 8, BC = 15, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.

По теореме Пифагора AB = 17.

Следовательно, R = AB / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Ответ: 8,5.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 130°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Большая диагональ ромба биссектрисой его тупого угла.

Следовательно, искомый угол равен 130° / 2 = 65°.

Ответ: 65.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 4 и 8.

m = (4 + 8) / 2 = 6.

Ответ: 6.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все квадраты имеют равные площади.

Основания равнобедренной трапеции равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-11}{(x-2)^2-3}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-11<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x-2)^2-3<0$.

Шаг 2. $(x-2)^2<3$.

Шаг 3. $-\sqrt{3}<x-2<\sqrt{3}$.

Шаг 4. Прибавляем 2: $2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}$.

Ответ: $(2-\sqrt{3};\; 2+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (2-√3;2+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 82% воды, а высушенные — 29%. Сколько сухих фруктов получится из 284 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Свежие фрукты содержат 82% воды, значит сухого вещества 18%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 284 кг свежих фруктов:

284 · 18/100 = 51,12 кг.

Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 29% воды, значит сухого вещества 71%.

Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,71·x = 51,12.

x = 51,12 / 0,71 = 72 кг.

Ответ: 72.

Правильный ответ: 72

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}-x^2+2x+3,& x\ge -1,\\-x+1,& x<-1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: [0;2]∪{4}.

Ответ: [0;2]∪{4}.

Правильный ответ: [0;2]∪{4}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 4, AC = 16.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 4 · 16 = 64.

Шаг 3. AB = √64 = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).

Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).

Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.

Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 1. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 80° + 10° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 15 и 1.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 15 и (b-a)/2 = 1 (или наоборот).

a+b = 30, b-a = 2.

b = 16, a = 14.

Ответ: 14; 16.

Правильный ответ: 14; 16

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.