Загрузка заданий...

Вариант 552 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Володя летом отдыхает у дедушки в деревне Ёлочки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кленовое в магазин. Из деревни Ёлочки в село Кленовое можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Сосенки до деревни Жуки, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Кленовое. Есть и третий маршрут: в деревню Сосенки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Кленовое, которая идёт мимо пруда. Шоссе и грунтовые дороги образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 4 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Жуки	Кленовое	Сосенки
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Ёлочки, промежуточная деревня на прямом шоссе — Сосенки, место поворота на другое шоссе — Жуки, конечный пункт — Кленовое.

Получаем соответствие: Ёлочки — 4, Сосенки — 2, Жуки — 3, Кленовое — 1.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Жуки, Кленовое, Сосенки.

Следовательно, ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Володя с дедушкой от деревни Ёлочки до села Кленовое, если они поедут по шоссе через деревню Жуки?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Ёлочки до Жуки и от Жуки до Кленовое.

От Ёлочки до Жуки: 15 клеток · 4 км = 60 км.

От Жуки до Кленовое: 8 клеток · 4 км = 32 км.

Складываем: 60 + 32 = 92 км.

Ответ: 92.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Ёлочки до села Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 8 клеток, по вертикали 15 клеток.

Значит, катеты равны 32 км и 60 км.

Это треугольник со сторонами 8–15–17, поэтому расстояние по прямой равно 68 км.

Ответ: 68.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Ёлочки в село Кленовое Володя с дедушкой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 68 км.

Скорость по грунтовой дороге — 40 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 68 / 40 ч.

В минутах это 102 мин.

Ответ: 102.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Ёлочки	Кленовое	Сосенки	Жуки
Молоко (1 л)	47	36	45	40
Хлеб (1 батон)	31	28	32	25
Сыр «Российский» (1 кг)	274	265	264	275
Говядина (1 кг)	297	292	297	301
Картофель (1 кг)	31	17	29	17

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Ёлочки, селе Кленовое, деревне Сосенки и деревне Жуки. Володя с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Ёлочки: 2·47=94 + 3·31=93 + 2·297=594 + 4·31=124 + 1·274=274 = 1 179

Кленовое: 2·36=72 + 3·28=84 + 2·292=584 + 4·17=68 + 1·265=265 = 1 073

Сосенки: 2·45=90 + 3·32=96 + 2·297=594 + 4·29=116 + 1·264=264 = 1 160

Жуки: 2·40=80 + 3·25=75 + 2·301=602 + 4·17=68 + 1·275=275 = 1 100

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Кленовое": 1 073 руб.

Ответ: 1 073.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} : \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} : \frac{1}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) : \frac{1}{1} = \frac{1}{1}$.

Получили дробь 1.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $1$.

Ответ: $1$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

a + 5 > 0

-a < 4

a < -5

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что -5 < a < -4.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

2) a + 5 > 0 ⇔ a > -5 — верно.

3) -a < 4 ⇔ a > -4 — неверно.

4) a < -5 ⇔ a < -5 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{90} + \sqrt{90})\sqrt{10}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√90 + √90)·√10.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √90 = 3√10, √90 = 3√10.

Тогда получаем (3√10 + 3√10)·√10 = 6√10·√10.

Так как √10·√10 = 10, имеем 6·10 = 60.

Ответ: 60.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(4x)}{8} - \frac{(-2x + 5)}{2} + x = -5$$

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: (4x)/8 - (-2x + 5)/2 + x = -5

Домножим обе части на НОК знаменателей 8 и 2, то есть на 8.

Получим:

(4x + 0) - (-8x + 20) + 8x = -40

Приведём подобные слагаемые:

20x - 20 = -40

Перенесём число в правую часть:

20x = -20

Разделим обе части на 20:

x = -20 / 20

x = -1

Ответ: -1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 25 билетов, Сеня не выучил 19 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 25.

Благоприятных исходов: 6 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{6}{25}$ = 0,24.

Ответ: 0,24.

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k < 0, b < 0

2) k > 0, b > 0

3) k > 0, b < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 231.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,4 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим V = 0,4 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,4 = 3 920.

Ответ: 3 920.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x − 1,8 \geqslant -4,6 \\ x + 0,3 < -0,3 \end{cases}$$

(-∞;-2,8) ∪ (-0,6;+∞)

[-2,8;-0,6)

нет решений

(-∞;-2,8] ∪ [-0,6;+∞)

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-2,8;-0,6). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 42 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 320 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 42 минут пройдёт 6 промежутков по 7 минут.

Тогда масса станет равна 320·($\frac{1}{2}$)^6 = 5 мг.

Ответ: 5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 73°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

BH — высота, значит BH ⟂ AC.

Угол между AB и AC равен 73°.

Тогда угол между AB и BH равен 90° - 73° = 17°.

Ответ: 17.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 59°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная.

В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны.

Поэтому ∠B = 180° - ∠A? Нет, для оснований AD и BC углы A и D при одном основании, B и C — при другом. А в равнобедренной трапеции ∠A = ∠D и ∠B = ∠C, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.

Следовательно, ∠B = 180° - 59° = 121°.

Ответ: 121.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 23, AB = 56. Найдите AC.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Значит, BD = 2·BO = 2·23 = 46.

Так как AC = BD, получаем:

AC = 46.

Ответ: 46.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 7, высота равна 4.

S = 7 · 4 = 28.

Ответ: 28.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно: тупым может быть только один угол.

3) Верно.

Ответ: 13.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x+3)^4+2(x+3)^2-8=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биквадратное по $(x+3)$. Замена $t=(x+3)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+2t-8=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+4)(t-2)=0$.

Корни: $t_1=-4$, $t_2=2$.

Шаг 3. Берём только $t=2$ (так как $t\ge0$, значение $t=-4$ не подходит).

Шаг 4. Решаем $(x+3)^2=2$:

$x+3=\pm\sqrt{2}\Rightarrow x=-3\pm\sqrt{2}$.

Ответ: $-3-\sqrt{2};\quad -3+\sqrt{2}$.

Правильный ответ: -3-√2;-3+√2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 8 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 75 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время первого = время второго; второй едет две половины с разными скоростями.

Шаг 1. Пусть скорость первого равна x км/ч, длина пути — S.

Шаг 2. 1/x = 1/(2·(x−8)) + 1/(2·90).

Шаг 3. Умножаем на 2·(x−8)·x·90 и упрощаем.

С учётом условия получаем x = 80.

Ответ: 80.

Правильный ответ: 80

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| + 7\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x + 7.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x + 7.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 7. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 7.

Проверка: при m = 7 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 150°, а CD = 75.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.

Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.

h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin60°.

Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:

h = CD · sin(∠BCD) = 75 · sin150°.

Шаг 3. Из равенства: AB · sin60° = 75 · sin150°.

AB = 75 · sin150°/sin60° (здесь sin150°/sin60° = √$\frac{3}{3}$).

AB = 25√3.

Ответ: 25√3.

Правильный ответ: 25√3

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы MA и NB к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ MA ∥ NB.

Шаг 2. В треугольниках TMA и TNB (T — точка на MN):

∠ATM = ∠BTN (вертикальные), MA ∥ NB ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TM/TN = r:s.

Шаг 3. TM/TN = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как r:s. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−6, 0), D = (6, 0) (|AD| = 12).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (12, h). На прямой BE точка E = (0, 12 − h), так как BE = 12.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{12}{4}$ = 9.

Шаг 5. AB = √(h² + (6)²) = √(81 + 36) = 3√13;

BC = 2·AB = 6√13; CA = 9√5.

Ответ: 3√13; 6√13; 9√5.

Правильный ответ: 3√13; 6√13; 9√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.