Загрузка заданий...

Вариант 172 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	1189	841
4	210	148

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.

3 Задание 3 1 балл

Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.

4 Задание 4 1 балл

Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.

5 Задание 5 1 балл

Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$6 : 1,25 \cdot 40$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $6 : 1,25 \cdot 40$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(6) : 1,25 = 4,8$.

Шаг 2: $(4,8) \cdot 40 = 192$.

Ответ: $192$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

a + 2 < 0

a < -1

-1 - a < 0

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что -2 < a < -1.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

2) a + 2 < 0 ⇔ a < -2 — неверно.

3) a < -1 ⇔ a < -1 — верно.

4) -1 - a < 0 ⇔ a > -1 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{75} + \sqrt{3})\sqrt{3}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√75 + √3)·√3.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √75 = 5√3, √3 = 1√3.

Тогда получаем (5√3 + 1√3)·√3 = 6√3·√3.

Так как √3·√3 = 3, имеем 6·3 = 18.

Ответ: 18.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 2x - 48 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² - 2x - 48 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -2, c = -48.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -2² - 4·1·-48 = 196.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (2 - √196) / 2 = -6

x₂ = (2 + √196) / 2 = 8

Ответ: -6;8

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 50 чашек: 21 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 29 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{29}{50}$ = 0,58.

Ответ: 0,58.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = \dfrac{1}{3}x + 1$

Б) $y = -\dfrac{9}{x}$

В) $y = -2x^2 - 10x - 13$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 324 Вт, а сила тока равна 6 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 324/(6²) = 9.

Ответ: 9.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 6x < 0

x² - 6x > 0

x² - 36 < 0

x² - 36 > 0

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 10 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 10, d = 10, n = 6.

Сумма первых 6 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 6(2·10 + 5·10)/2 = 210.

Ответ: 210.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Медиана равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 13√3.

Отсюда a / 2 = 13, значит a = 26.

Ответ: 26.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 4 = 8.

S = a² = 8² = 64.

Ответ: 64.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание, если высота равна 5, меньшее основание равно 7, а угол при основании равен 45°.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

При угле 45° каждый из двух боковых прямоугольных треугольников имеет горизонтальный катет, равный высоте.

Прибавляем по 5 с каждой стороны к меньшему основанию: 7 + 2·5 = 17.

Ответ: 17.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

По клеткам основание равно 7, высота равна 6.

S = 7 · 6 / 2 = 21.

Ответ: 21.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: данных недостаточно без уточнения положения угла.

Ответ: 2.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $33a-27b+23$, если $\dfrac{7a-8b+2}{8a-7b+2}=5$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $33a-27b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $7a-8b+2 = 5(8a-7b+2)$.

Шаг 2. Раскрываем: $7a-8b+2 = 40a-35b+10$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 33a-27b+8$, откуда $33a-27b = -8$.

Шаг 4. Вычисляем: $33a-27b+23 = -8+23 = 15$.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 87% воды, а высушенные — 22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 49 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 22% воды, значит сухого вещества 78%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 49 кг сухих фруктов:

49 · 78/100 = 38,22 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 87% воды, значит сухого вещества 13%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,13·x = 38,22.

x = 38,22 / 0,13 = 294 кг.

Ответ: 294.

Правильный ответ: 294

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| - 2\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x - 2.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x - 2.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -2. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -2.

Проверка: при m = -2 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: -2.

Правильный ответ: -2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 11, а одна из диагоналей ромба равна 44. Найдите углы ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.

Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.

Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).

Шаг 2. По условию r = 11, диагональ = 44 = 4r.

Значит диагональ = 4·11, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.

Упрощая: cos(α/2) = 2·sin(α/2)·cos(α/2) ⟹ 1 = 2·sin(α/2), sin(α/2) = $\frac{1}{2}$, α/2 = 30°, α = 60°.

Шаг 3. Острый угол = 60°, тупой угол = 120°.

Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.

Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 6, а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 10.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 10.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 10 + 10 = 20.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 6 · 20 = 120.

Ответ: 120.

Правильный ответ: 120

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.