Загрузка заданий...

Вариант 247 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	210	148
2	594	420
3	148	105
4	420	297

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь листа A5 равна $\frac{1}{32}$ м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,25 - 0,008 + 5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,25 - 0,008 + 5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,25) - 0,008 = 0,242$.

Шаг 2: $(0,242) + 5 = 5,242$.

Ответ: $5,242$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-a > 1

$\frac{1}{a} > 0$

a < -2

a > -1

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что -2 < a < -1.

Проверим варианты ответа:

1) -a > 1 ⇔ a < -1 — верно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) a < -2 ⇔ a < -2 — неверно.

4) a > -1 ⇔ a > -1 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(2\sqrt{5})^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (2√5)².

Используем свойство степени произведения: (2√5)² = 2² · (√5)².

Получаем 4 · 5 = 20.

Ответ: 20.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 2x + 8 = 14

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: 2x + 8 = 14

Перенесём 8 в правую часть:

2x = 14 - 8

2x = 6

Разделим обе части на 2:

x = 6 / 2

x = 3

Ответ: 3

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, 47 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 80.

Благоприятных исходов: 33 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{33}{80}$ = 0,4125.

Ответ: 0,4125.

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k < 0, b > 0

2) k > 0, b > 0

3) k > 0, b < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 123.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2500 кг обладает кинетической энергией 281,25 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 281,25·1000 = 281 250 Дж.

v = √(2·281 250/2500) = 15.

Ответ: 15.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-7x - 7 < 5x - 1

(-∞;3)

(-∞;-3)

(3;+∞)

(-0,5;+∞)

Решение

Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →

Решим неравенство: -7x - 7 < 5x - 1.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -12x > 6.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -12: x > -0,5.

Значит, x больше -0,5.

Этому соответствует промежуток (-0,5;+∞).

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 23 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 23, d = 3.

Найдём 10-й член: a10 = a₁ + (10 - 1)·d = 23 + 9·3 = 50.

Ответ: 50.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 24, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 24 · 27 = 648/2 = 324.

Ответ: 324.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 74°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.

∠AOB = 2 · 74° = 148°.

Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.

Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.

∠AOD = 180° - 148° = 32°.

Ответ: 32.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 127°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.

Искомый угол равен 180° - 127° = 53°.

Ответ: 53.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 6 и 2.

Искомое отношение площадей равно (6 / 2)² = 9.

Ответ: 9.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x-1)^4-2(x-1)^2-3=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x-1)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2-2t-3=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t-3)(t+1)=0$.

Корни: $t_1=3$, $t_2=-1$.

Шаг 3. Берём только $t=3$.

Шаг 4. Решаем $(x-1)^2=3$:

$x-1=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=1\pm\sqrt{3}$.

Ответ: $1-\sqrt{3};\quad 1+\sqrt{3}$.

Правильный ответ: 1-√3;1+√3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.

По течению: 15 + x. Против течения: 15 − x.

Шаг 2. Составляем уравнение:

140/(15+x) + 11 + 140/(15−x) = 32.

Шаг 3. Переносим стоянку: 140/(15+x) + 140/(15−x) = 21.

Шаг 4. Умножаем на (15+x)(15−x) = 225−x²:

140(15−x) + 140(15+x) = 21(225−x²).

Шаг 5. Левая часть: 2·140·15 = 4200. Квадратное уравнение относительно x.

Шаг 6. Решение: x = 5.

Шаг 7. Проверка: 7 + 11 + 14 = 32. ✓

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{5x-8}{5x^2-8x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=8/5 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=8/5 $, откуда $ k=25/64 $.

Ответ: $\frac{25}{64}$.

Правильный ответ: 25/64

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 11, AC = 33, NC = 12.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.

Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = $\frac{11}{33}$ = $\frac{1}{3}$.

Шаг 2. Из подобия: BN/BC = $\frac{1}{3}$, то есть BN = 1·BC/3.

Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 12.

Подставляем: BN = 1·(BN + 12)/3.

3·BN = 1·BN + 1·12.

(3−1)·BN = 12 ⟹ BN = 12/(3−1) = 6.

Ответ: 6.

Правильный ответ: 6

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причём точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. PK = PL (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка P равноудалена от K и L

⟹ P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку KL.

Шаг 2. QK = QL (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка Q тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая PQ совпадает с серединным перпендикуляром к KL.

Следовательно, PQ ⟂ KL. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 10, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 8 + 2... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 6, AB = 8, CD = 10, BC = 2.

Шаг 3. AD = BC + AB = 2 + 8 = 10.

S = (BC + AD)/2 · h = (2 + 10)/2 · 6 = 40.

Ответ: 40.

Правильный ответ: 40

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.