Загрузка заданий...
Вариант 2722 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A1, A2 и A4.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A1, A2, A4.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 841 | 594 |
| 2 | 1189 | 841 |
| 3 | 297 | 210 |
| 4 | 594 | 420 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A0 — 1189 × 841 мм, это №2. A1 — 841 × 594 мм, это №1. A2 — 594 × 420 мм, это №4. A4 — 297 × 210 мм, это №3. Ответ: 2143.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A2?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Из A2 получают два листа A3, а из каждого A3 — два листа A4. Всего 2 · 2 = 4 листа A4. Ответ: 4.
3
Задание 3
1 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A0 имеет размеры примерно 1189 × 841 мм. Ширина равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
4
Задание 4
1 балл
Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата A4 к большей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Размер A4: 297 × 210 мм. Отношение меньшей стороны к большей: 210 : 297 ≈ 0,707. Округляем до десятых: 0,7. Ответ: 0,7.
5
Задание 5
1 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
При переходе от A4 к A3 линейные размеры увеличиваются примерно в √2 раза. Поэтому размер шрифта: 15 · √2 ≈ 21,2. Округляем до целого: 21. Ответ: 21.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,4 + \frac{2}{1} - \frac{1}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,4 + \frac{2}{1} - \frac{1}{4}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,4) + \frac{2}{1} = 2,4\).
Шаг 2: \((2,4) - \frac{1}{4} = 2,15\).
Получили результат \(2,15\).
Ответ: \(2,15\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Укажите число, которое больше -3,8, но меньше -0,4.
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа -3,8 и -0,4. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (-2,125) лежит между этими числами.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{12} - 5)(\sqrt{12} + 5)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√12 - 5)(√12 + 5).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√12)² - 5² = 12 - 25 = -13.
Ответ: -13.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{4}{x - 2} = 1$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: 4/(x - 2) = 1
Область допустимых значений: x != 2.
Умножим обе части уравнения на x - 2:
4 = 1(x - 2)
Раскроем скобки:
4 = 1x - 2
Перенесём число в левую часть:
6 = 1x
x = 6 / 1
x = 6
Проверка ОДЗ: x = 6, x != 2, условие выполняется.
Ответ: 6
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события \(A \cap \overline{B}\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события \(A \cap \overline{B}\): 2.
\(P=2/8=0,25\).
Ответ: 0,25
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0
2) a > 0, c < 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 213.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 361 Вт, а сила тока равна 9,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 361/(9,5²) = 4.
Ответ: 4.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-5x - 3 ≥ 5x - 6
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -5x - 3 >= 5x - 6.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -10x <= -3.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -10: x <= 0,3.
Значит, x меньше или равно 0,3.
Этому соответствует промежуток (-∞;0,3].
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 25 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 25, d = -2.
Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 13.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 13·(25 + 1)/2 = 169.
Ответ: 169.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 7/12, AB = 48. Найдите AC.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.
Значит, AC = AB · sin B = 48 · \(\frac{7}{12}\) = 28.
Ответ: 28.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 8√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
Значит, a = 3R / √3 = 3 · 8√3 / √3 = 24.
Ответ: 24.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 4 и 19, а высота равна 11. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
m = (4 + 19) / 2 = 11,5.
Ответ: 11,5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 9 и 12.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.
Ответ: 15.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно: по определению окружности.
2) Неверно: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
3) Верно: 1 + 2 < 4, не выполняется неравенство треугольника.
Ответ: 13.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x}-12=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: делаем замену \(t=\frac{1}{x}\), чтобы свести к квадратному уравнению.
Шаг 1. Обозначим \(t=\frac{1}{x}\). Тогда \(\frac{1}{x^2}=t^2\). Уравнение становится:
\(t^2+4t-12=0\).
Шаг 2. Находим корни. Дискриминант: \(D=4^2+4\cdot12=16+48=64\), \(\sqrt{D}=8\).
\(t_1=\dfrac{-4+8}{2}=2,\quad t_2=\dfrac{-4-8}{2}=-6\).
Шаг 3. Обратная замена \(x=\frac{1}{t}\):
Если \(t=2\): \(x=\dfrac{1}{2}\).
Если \(t=-6\): \(x=-\dfrac{1}{6}\).
Шаг 4. Проверяем ОДЗ: \(x\ne0\) — оба корня удовлетворяют.
Ответ: \(-\dfrac{1}{6};\quad \dfrac{1}{2}\).
Правильный ответ: -1/6;1/2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два автомобиля одновременно отправляются в 480-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.
Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 20) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 2 ч раньше, значит его время меньше:
480/x − 480/(x+20) = 2.
Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+20):
480·(x+20) − 480·x = 2·x·(x+20).
Шаг 4. Левая часть упрощается до 480·20 = 9600. Получаем:
2x² + 40x − 9600 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 40² + 4·2·9600 = 78400, √D = 280.
x = (−40 + 280) / (2·2) = 60 (берём положительный корень).
Шаг 6. Скорость первого: 60 + 20 = 80 км/ч.
Ответ: 80.
Правильный ответ: 80
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2+2x+1,& x\ge -2,\\-\dfrac{2}{x},& x<-2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {0}∪[1;+∞).
Ответ: {0}∪[1;+∞).
Правильный ответ: {0}∪[1;+∞)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 25 и 65. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.
Шаг 1. Второй катет: √(65² − 25²) = √3600 = 60.
Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 25·\(\frac{60}{2}\) = 750.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу 65 и высоту h к ней: S = 65·h/2.
Шаг 4. Из равенства площадей: h = 25·\(\frac{60}{65}\) = 300/13.
Ответ: 300/13.
Правильный ответ: 300/13
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.
Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.
Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 12, BC = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.
Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.
BE — касательная: BE² = степень точки B.
Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).
Степень точки B: BE² = BC · BD.
Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 12 (вертикальная хорда).
BE² = BC · BD = 10 · 12 = 120.
BE = √120 = 2√6.
Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 2√6.
Ответ: 2√6.
Правильный ответ: 2√6
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.