Загрузка заданий...

Вариант 2764 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	148	105
4	297	210

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна $\frac{1}{32}$ м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь листа A1 равна половине площади A0: $\frac{1}{2}$ м². Масса одного листа: 120 · $\frac{1}{2}$ = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} \cdot 87,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} \cdot 87,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) \cdot 87,5 = 87,5$.

Получили результат $87,5$.

Ответ: $87,5$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.

-0,37

$\frac{\sqrt{19}}{2}$

$\frac{37}{9}$

$\frac{13}{3}$

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 4 и 5.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -0,37 ≈ -0,37

2) $\frac{\sqrt{19}}{2}$ ≈ 2,1794

3) $\frac{37}{9}$ ≈ 4,1111

4) $\frac{13}{3}$ ≈ 4,3333

Точке A соответствует вариант 4.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$10^{-3} \cdot (10^2)^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 10^(-3) · (10^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (10^2)^2 = 10^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 10^-3 · 10^4 = 10^1.

Получаем 10^1 = 10.

Ответ: 10.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -5x - 5y = 5 \\ -4x - 5y = 11 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

-5x - 5y = 5

-4x - 5y = 11

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -4, а второе — на -5.

Получим:

$(-5x - 5y = 5) \cdot -4$: 20x + 20y = -20

$(-4x - 5y = 11) \cdot -5$: 20x + 25y = -55

Вычтем второе уравнение из первого:

-5y = 35

y = 35 / -5 = -7

Подставим y = -7 в первое уравнение:

-5x - 5y = 5

Получаем x = 6.

Ответ: (6;-7)

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 97 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 103 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 103/200 = 0,515.

Ответ: 0,515.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = \dfrac{1}{x}$

Б) $y = \dfrac{5}{3}x - 1$

В) $y = -x^2 + 2x + 3$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1500 кг обладает кинетической энергией 75 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 75·1000 = 75 000 Дж.

v = √(2·75 000/1500) = 10.

Ответ: 10.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 9)(x - 10) ≥ 0

(-9;10)

(-∞;-9] ∪ [10;+∞)

[10;+∞)

(10;+∞)

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -9 и x = 10. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 10 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 10) >= 0 получаем решение (-∞;-9] ∪ [10;+∞). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 30 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 4 секунд торможения?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 30, d = -4, n = 4.

Сумма первых 4 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4(2·30 + 3·(-4))/2 = 96.

Ответ: 96.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 24°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

Биссектриса делит угол пополам.

Поэтому ∠BAD = 24° : 2 = 12°.

Ответ: 12.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 3√5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда O — середина стороны CD.

По теореме Пифагора OA² = a² + (a/2)² = 5a²/4.

Следовательно, OA = a√5 / 2.

По условию OA = 3√5, значит a = 6.

Площадь квадрата равна a² = 36.

Ответ: 36.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 23° и 73°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.

Искомый угол равен 180° - 23° - 73° = 84°.

Ответ: 84.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок MC длиннее отрезка AM?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.

M лежит на AC. По клеткам: AM=3, MC=6. MC=2·AM.

Ответ: 2.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все хорды одной окружности равны между собой.

Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $x^2-2x+\sqrt{6-x}=\sqrt{6-x}+35$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: слагаемое $\sqrt{6-x}$ одинаково с обеих сторон — сокращаем.

Шаг 1. Вычитаем $\sqrt{6-x}$ из обеих частей:

$x^2-2x=35$.

Шаг 2. Решаем:

$x^2-2x-35=0\Rightarrow(x-7)(x+5)=0$.

Корни: $x=7$ и $x=-5$.

Шаг 3. ОДЗ: $6-x\ge0\Rightarrow x\le6$.

Значение $x=7$ не подходит. Остаётся $x=-5$.

Ответ: $-5$.

Правильный ответ: -5

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 140 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 6) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: первым — 140/x ч, вторым — 140/(x−6) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:

140/(x−6) − 140/x = 3.

Шаг 4. Умножаем на x(x−6):

140·x − 140·(x−6) = 3·x·(x−6).

840 = 3·x² − 18·x.

3x² − 18x − 840 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 18² + 4·3·840 = 324 + 10080 = 10404, √D = 102.

x = (18 + 102) / (2·3) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первый — 140/20 = 7 ч, второй — 140/14 = 10 ч.

10 − 7 = 3 = 3. ✓

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| - 5\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x - 5.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x - 5.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -5. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -5.

Проверка: при m = -5 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: -5.

Правильный ответ: -5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 16, а AB = 15.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.

Шаг 1. Из условия задачи D = 16, AB = 15.

Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².

AC² − 16·AC − 15² = 0.

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 16·AC − 225 = 0.

Положительный корень: AC = 25.

Проверка: D = (25² − 15²)/25 = 400/25 = 16. ✓

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.

Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).

Шаг 2. Прямая через O пересекает AB в точке P и CD в точке Q.

Центральная симметрия переводит AB в CD и P в Q (так как O — центр).

Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит BP = DQ. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 20.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.

Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.

CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).

Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:

AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 20² = 400, AD·BC = 49·21 = 1029.

Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:

R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.

Вычисление: R = 25.

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.