Загрузка заданий...

Вариант 284 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Старая	Николаево	Зябликово
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.

Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.

От Осиновка до Старая: 21 клеток · 1 км = 21 км.

От Старая до Николаево: 20 клеток · 1 км = 20 км.

Складываем: 21 + 20 = 41 км.

Ответ: 41.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 20 клеток, по вертикали 21 клетка.

Значит, катеты равны 20 км и 21 км.

Это треугольник со сторонами 20–21–29, поэтому расстояние по прямой равно 29 км.

Ответ: 29.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 29 км.

Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 29 / 10 ч.

В минутах это 174 мин.

Ответ: 174.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Осиновка	Николаево	Зябликово	Старая
Молоко (1 л)	42	49	52	48
Хлеб (1 батон)	27	29	32	38
Сыр «Российский» (1 кг)	259	250	255	264
Говядина (1 кг)	328	318	324	319
Картофель (1 кг)	34	19	24	30

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216

Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147

Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199

Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.

Ответ: 1 147.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{9}{10} + \frac{7}{25} + 5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{9}{10} + \frac{7}{25} + 5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{9}{10}) + \frac{7}{25} = 1,18$.

Шаг 2: $(1,18) + 5 = 6,18$.

Получили результат $6,18$.

Ответ: $6,18$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

a - 2 > 0

a - 1 < 0

a > 1

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 1 < a < 2.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

2) a - 2 > 0 ⇔ a > 2 — неверно.

3) a - 1 < 0 ⇔ a < 1 — неверно.

4) a > 1 ⇔ a > 1 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{12} - 4)(\sqrt{12} + 4)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√12 - 4)(√12 + 4).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√12)² - 4² = 12 - 16 = -4.

Ответ: -4.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 5 + 4(-7x + 5) = -12x + 105

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: 5 + 4(-7x + 5) = -12x + 105

Раскроем скобки:

5 + 4(-7x + 5) = -12x + 105

5 - 28x + 20 = -12x + 105

Приведём подобные слагаемые в левой части:

-28x + 25 = -12x + 105

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-16x = 80

Разделим обе части на -16:

x = 80 / -16

x = -5

Ответ: -5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $\overline{A} \cup B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,8.

Ответ: 0,8

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \dfrac{1}{3}x + 1$

Б) $y = -2x^2 - 10x - 13$

В) $y = -\dfrac{9}{x}$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2500 кг обладает кинетической энергией 281,25 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 281,25·1000 = 281 250 Дж.

v = √(2·281 250/2500) = 15.

Ответ: 15.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

3x + 1 ≤ -x - 7

[2;+∞)

(-∞;0]

[0;+∞)

(-∞;-2]

Решение

Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →

Решим неравенство: 3x + 1 <= -x - 7.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 4x <= -8.

Делим обе части на 4: x <= -2.

Значит, x меньше или равно -2.

Этому соответствует промежуток (-∞;-2].

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,4 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,3 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10 секунд движения?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,4, d = 0,3, n = 10.

Сумма первых 10 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 17,5.

Ответ: 17,5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 9/14, AB = 42. Найдите BC.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.

Значит, BC = AB · cos B = 42 · $\frac{9}{14}$ = 27.

Ответ: 27.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.

r = (12√3 · √3) / 6 = $\frac{36}{6}$ = 6.

Ответ: 6.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 6√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 6√2 · √2 = 12.

Ответ: 12.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 12 и 2.

S = 12 · 2 / 2 = 12.

Ответ: 12.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2+y^2=36,\\10x^2+2y^2=36x.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: умножим первое уравнение на 2 — левые части станут одинаковыми.

Шаг 1. Умножаем первое на 2: $10x^2+2y^2=72$.

Шаг 2. По второму уравнению: $10x^2+2y^2=36x$.

Шаг 3. Левые части равны — приравниваем правые:

$72=36x\Rightarrow x=2$.

Шаг 4. Подставляем $x=2$ в первое уравнение:

$5\cdot4+y^2=36\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm4$.

Ответ: $(2;\,-4);\ (2;\,4)$.

Правильный ответ: (2;-4);(2;4)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 3 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 260 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 3) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 260/(x−3) мин, второй — 260/x мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 6 мин дольше:

260/(x−3) − 260/x = 6.

Шаг 4. Умножаем на x(x−3):

260·x − 260·(x−3) = 6·x·(x−3).

780 = 6·x² − 18·x.

6x² − 18x − 780 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 18² + 4·6·780 = 324 + 18720 = 19044, √D = 138.

x = (18 + 138) / (2·6) = 13 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 260/10 = 26 мин, вторая — 260/13 = 20 мин.

26 − 20 = 6 = 6. ✓

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+0,25)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+0,25,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-1; 1; 1,25 $.

Ответ: $ -1; 1; 1,25 $.

Правильный ответ: -1; 1; 1,25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 16, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 15 и 8.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. По хорде AB: R² = 15² + (AB/2)² = 15² + 8² = 289. R = 17.

Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 8 от центра:

(CD/2)² = R² − 8² = 289 − 64 = 225.

CD/2 = 15.

Шаг 3. CD = 2 · 15 = 30.

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота от K до AB равна среднему арифметическому высот от C и D.

Шаг 1. Пусть hC и hD — расстояния от C и D до прямой AB. K — середина CD,

поэтому высота hK = (hC + hD)/2.

Шаг 2. S(△KAB) = AB·hK/2 = AB·(hC+hD)/4.

Шаг 3. S(трапеции) = (AD+BC)·h/2; при AB = AD: S = AB·(hC+hD)/2.

Значит S(△KAB) = S(трапеции)/2. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 12, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 1.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 1.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 1 + 1 = 2.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 12 · 2 = 24.

Ответ: 24.

Правильный ответ: 24

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.