Загрузка заданий...

Вариант 283 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,7 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	кухня	гостиная
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 5, кладовая — 2, кухня — 6, гостиная — 3.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, кухня, гостиная.

Следовательно, ответ: 5263.

Ответ: 5263

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 70 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в спальне?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По плану площадь покрытия спальни составляет 88 клеток.

Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м, поэтому площадь равна 88 · 0,49 = 43,12 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,7 = 0,14 кв. м.

Нужно элементов: 43,12 / 0,14 = 308.

В одной упаковке 5 штук, значит понадобится 62 упаковки.

Ответ: 62.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь большей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

По плану площадь нужного помещения составляет 33 клетки.

Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м.

Значит, площадь равна 33 · 0,49 = 16,17 кв. м.

Ответ: 16,17.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кухни?

Решение

Разбор: Задание 4 →

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 72 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 72) / 72) · 100% = 100%.

Ответ: 100.

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «600»	650 руб. за 600 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб
План «900»	820 руб. за 900 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб
План «Безлимитный»	930 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 700 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 700 Мб?

Решение

Разбор: Задание 5 →

Считаем стоимость интернета при трафике 700 Мб:

План «600»: 650 + 100 · 2 = 850 руб.

План «900»: 820 руб.

План «Безлимитный»: 930 руб.

Самым дешёвым оказывается План «900»: 820 руб.

Ответ: 820.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{5} + 0,15 \cdot \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{5} + 0,15 \cdot \frac{1}{2}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,15) \cdot \frac{1}{2} = 0,075$.

Шаг 2: $(\frac{1}{5}) + 0,075 = 0,275$.

Получили результат $0,275$.

Ответ: $0,275$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами 0 и 3,5?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$-\frac{17}{4}$

-2,36

$\frac{119}{25}$

1,25

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа 0 и 3,5. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (1,25) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4\sqrt{10} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{20}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 4√10 · 6√2 · √20.

Перемножим коэффициенты: 4 · 6 = 24.

Подкоренные выражения дают: √10 · √2 · √20 = √(10·2·20) = √(400) = 20.

Тогда всё выражение равно 24 · 20 = 480.

Ответ: 480.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + x - 6 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² + x - 6 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 1, c = -6.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 1² - 4·1·-6 = 25.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-1 - √25) / 2 = -3

x₂ = (-1 + √25) / 2 = 2

Ответ: -3;2

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 13 чёрных, 20 жёлтых и 7 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 20 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{20}{40}$ = 0,5.

Ответ: 0,5.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = 2x - 3$

2) $y = \dfrac{1}{2}x - 4$

3) $y = x$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 213.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 11 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 1185,8 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).

m = 1185,8/(9,8·11) = 11.

Ответ: 11.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 5)(x - 10) < 0

(-5;10)

(-∞;-5) ∪ (10;+∞)

(10;+∞)

[10;+∞)

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -5 и x = 10. На числовой прямой отмечаем точки -5 и 10 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 5)(x - 10) < 0 получаем решение (-5;10). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 480 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 7 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 480, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 7 см, а после 5-го уже меньше.

Ответ: 5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 36°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Другой острый угол равен 90° - 36° = 54°.

Ответ: 54.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 18√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 18√2 = 36√2.

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 36√2 · √2 = 72.

Ответ: 72.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов параллелограмма равен 74°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Соседние углы параллелограмма supplementary.

Искомый угол равен 180° - 74° = 106°.

Ответ: 106.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 6 и 3.

Искомое отношение площадей равно (6 / 3)² = 4.

Ответ: 4.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².

2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.

3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-8)^2<\sqrt{3}(x-8)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-8)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-8)^2-\sqrt{3}(x-8)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-8)\bigl[(x-8)-\sqrt{3}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=8$ и $x=8+\sqrt{3}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(8;\; 8+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (8;8+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 140 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 6) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: первым — 140/x ч, вторым — 140/(x−6) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:

140/(x−6) − 140/x = 3.

Шаг 4. Умножаем на x(x−6):

140·x − 140·(x−6) = 3·x·(x−6).

840 = 3·x² − 18·x.

3x² − 18x − 840 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 18² + 4·3·840 = 324 + 10080 = 10404, √D = 102.

x = (18 + 102) / (2·3) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первый — 140/20 = 7 ч, второй — 140/14 = 10 ч.

10 − 7 = 3 = 3. ✓

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{1x-3}{1x^2-3x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=3 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=3 $, откуда $ k=1/9 $.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

Правильный ответ: 1/9

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 16, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 15 и 8.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. По хорде AB: R² = 15² + (AB/2)² = 15² + 8² = 289. R = 17.

Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 8 от центра:

(CD/2)² = R² − 8² = 289 − 64 = 225.

CD/2 = 15.

Шаг 3. CD = 2 · 15 = 30.

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).

Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).

Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.

Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Окружности радиусов 4 и 60 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.

Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=4 и R=60.

O₁O₂ = r + R = 64 (внешнее касание).

Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.

Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.

Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).

Аналогично CD ⊥ O₁O₂.

Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.

По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(60·4) = 2√240 = 8√15.

Ответ: 8√15.

Правильный ответ: 8√15

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.