Загрузка заданий...
Вариант 2850 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,7 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | кладовая | кухня | гостиная |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Задание 1 →
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 5, кладовая — 2, кухня — 6, гостиная — 3.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, кухня, гостиная.
Следовательно, ответ: 5263.
Ответ: 5263
2
Задание 2
1 балл
Паркетная доска размером 20 см на 70 см продаётся в упаковках по 7 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в спальне?
Решение
Разбор: Задание 2 →
По плану площадь покрытия спальни составляет 88 клеток.
Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м, поэтому площадь равна 88 · 0,49 = 43,12 кв. м.
Площадь одной доски: 0,2 · 0,7 = 0,14 кв. м.
Нужно элементов: 43,12 / 0,14 = 308.
В одной упаковке 7 штук, значит понадобится 44 упаковки.
Ответ: 44.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь большей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Разбор: Задание 3 →
По плану площадь нужного помещения составляет 33 клетки.
Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м.
Значит, площадь равна 33 · 0,49 = 16,17 кв. м.
Ответ: 16,17.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь коридора больше площади кухни?
Решение
Разбор: Задание 4 →
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 144 клетки, второе: 72 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 72) / 72) · 100% = 100%.
Ответ: 100.
5
Задание 5
1 балл
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| План «600» | 650 руб. за 600 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб |
| План «900» | 820 руб. за 900 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб |
| План «Безлимитный» | 930 руб. за неограниченное количество Мб трафика | — |
В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 700 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 700 Мб?
Решение
Разбор: Задание 5 →
Считаем стоимость интернета при трафике 700 Мб:
План «600»: 650 + 100 · 2 = 850 руб.
План «900»: 820 руб.
План «Безлимитный»: 930 руб.
Самым дешёвым оказывается План «900»: 820 руб.
Ответ: 820.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,125 \cdot 50 - 1,2$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,125 \cdot 50 - 1,2\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,125) \cdot 50 = 6,25\).
Шаг 2: \((6,25) - 1,2 = 5,05\).
Ответ: \(5,05\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел расположено между числами -2,4 и -0,16?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа -2,4 и -0,16. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (-0,52) лежит между этими числами.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{11} - 2)(\sqrt{11} + 2)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√11 - 2)(√11 + 2).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√11)² - 2² = 11 - 4 = 7.
Ответ: 7.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -2x + 3y = 33 \\ 4x - 8y = -80 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-2x + 3y = 33
4x - 8y = -80
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 4, а второе — на -2.
Получим:
\((-2x + 3y = 33) \cdot 4\): -8x + 12y = 132
\((4x - 8y = -80) \cdot -2\): -8x + 16y = 160
Вычтем второе уравнение из первого:
-4y = -28
y = -28 / -4 = 7
Подставим y = 7 в первое уравнение:
-2x + 3y = 33
Получаем x = -6.
Ответ: (-6;7)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события \(A \cap B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Всего исходов: 40. Вероятность события \(A \cap B\) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
\(P=6/40=0,15\).
Ответ: 0,15
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a > 0, c < 0
3) a < 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 132.
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 14-минутной поездки.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t = 14 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(14 − 5) = 249.
Ответ: 249.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-8x - 5 > -2x + 10
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -8x - 5 > -2x + 10.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -6x < 15.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -6: x < -2,5.
Значит, x меньше -2,5.
Этому соответствует промежуток (-∞;-2,5).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 19, d = 2, n = 12.
Сначала найдём последний ряд: a12 = 19 + (12 - 1)·2 = 41.
Сумма первых 12 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 12·(19 + 41)/2 = 360.
Ответ: 360.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 15° и AK = CK.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.
Но ∠ACK = ∠C = 15°.
Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·15° = 30°.
Тогда ∠B = 180° - 30° - 15° = 135°.
Ответ: 135.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона квадрата равна 48. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.
Поэтому радиус равен половине стороны: r = 48 / 2 = 24.
Ответ: 24.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 2 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.
Больший отрезок равен 19 / 2 = 9,5.
Ответ: 9,5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 10 и 2.
Искомое отношение площадей равно (10 / 2)² = 25.
Ответ: 25.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².
2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.
3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.
Ответ: 1.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}2x^2-x=y,\\2x-1=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: приравниваем правые части.
Шаг 1. \(2x^2-x=2x-1\).
Шаг 2. Переносим влево: \(2x^2-3x+1=0\).
Шаг 3. Разложим: \((2x-1)(x-1)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{1}{2}\) или \(x=1\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{1}{2}\): \(y=2\cdot\dfrac{1}{2}-1=0\).
При \(x=1\): \(y=2-1=1\).
Ответ: \(\left(\dfrac{1}{2};\,0\right);\ (1;\,1)\).
Правильный ответ: (1/2;0);(1;1)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 90 кг получается раствор с концентрацией 42%:
48·x + 42·y = 90·0,42 = 37,8 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 40%:
(x + y)/2 = 0,40 ⟹ x + y = 0,80 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 0,80 − x. Подставляем в (1):
48·x + 42·(0,80 − x) = 37,8
48x + 33,6 − 42x = 37,8
6x = 4,2 ⟹ x = 0,70.
y = 0,80 − 0,70 = 0,10.
Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 42·0,10 = 4,2 кг.
Ответ: 4,2.
Правильный ответ: 4,2
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}-x^2-2x+3,& x\ge -2,\\-x-1,& x<-2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: (1;3)∪{4}.
Ответ: (1;3)∪{4}.
Правильный ответ: (1;3)∪{4}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 15, DC = 30, AC = 30.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.
Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = \(\frac{15}{30}\) = \(\frac{1}{2}\).
Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 2.
Одна «часть» = AC / (2+1) = 30 / 3 = 10.
Шаг 3. MC = 2 · 10 = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.
Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 16, MD = 4, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.
Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.
Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).
Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?
Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).
Шаг 3. AM = AD − MD = 16 − 4 = 12.
AM² = 144.
AH = AM² / AD = 144 / 16 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).
Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 16 − \(\frac{16}{16}\) = 15.
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.