Загрузка заданий...
Вариант 2879 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,5 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | санузел | кладовая | спальня | гостиная |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Задание 1 →
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: санузел — 7, кладовая — 1, спальня — 8, гостиная — 5.
В таблице объекты стоят в порядке: санузел, кладовая, спальня, гостиная.
Следовательно, ответ: 7185.
Ответ: 7185
2
Задание 2
1 балл
Плитка для пола размером 50 см на 50 см продаётся в упаковках по 12 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в коридоре?
Решение
Разбор: Задание 2 →
По плану площадь покрытия коридора составляет 144 клетки.
Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м, поэтому площадь равна 144 · 0,25 = 36 кв. м.
Площадь одной плитки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м.
Нужно элементов: 36 / 0,25 = 144.
В одной упаковке 12 штук, значит понадобится 12 упаковок.
Ответ: 12.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь кухни. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Разбор: Задание 3 →
По плану площадь нужного помещения составляет 72 клетки.
Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м.
Значит, площадь равна 72 · 0,25 = 18 кв. м.
Ответ: 18.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь кухни больше площади санузла?
Решение
Разбор: Задание 4 →
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 72 клетки, второе: 36 клеток.
На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 36) / 36) · 100% = 100%.
Ответ: 100.
5
Задание 5
1 балл
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| План «500» | 600 руб. за 500 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб |
| План «1000» | 820 руб. за 1000 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб |
| План «Безлимитный» | 900 руб. за неограниченное количество Мб трафика | — |
В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 650 Мб?
Решение
Разбор: Задание 5 →
Считаем стоимость интернета при трафике 650 Мб:
План «500»: 600 + 150 · 2 = 900 руб.
План «1000»: 820 руб.
План «Безлимитный»: 900 руб.
Самым дешёвым оказывается План «1000»: 820 руб.
Ответ: 820.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{9}{5} : \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{9}{5} : \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{9}{5}) : \frac{4}{3} = \frac{27}{20}\).
Шаг 2: \((\frac{27}{20}) \cdot \frac{4}{3} = \frac{9}{5}\).
Получили дробь \(\frac{9}{5}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(1,8\).
Ответ: \(1,8\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что 7 < a < 8.
Проверим варианты ответа:
1) -a > -8 ⇔ a < 8 — верно.
2) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
3) a - 7 < 0 ⇔ a < 7 — неверно.
4) a > 8 ⇔ a > 8 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} + \sqrt{8})\sqrt{2}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√8 + √8)·√2.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √8 = 2√2, √8 = 2√2.
Тогда получаем (2√2 + 2√2)·√2 = 4√2·√2.
Так как √2·√2 = 2, имеем 4·2 = 8.
Ответ: 8.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 2x - 5y = 23 \\ 2x - y = 11 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
2x - 5y = 23
2x - y = 11
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 2, а второе — на 2.
Получим:
\((2x - 5y = 23) \cdot 2\): 4x - 10y = 46
\((2x - y = 11) \cdot 2\): 4x - 2y = 22
Вычтем второе уравнение из первого:
-8y = 24
y = 24 / -8 = -3
Подставим y = -3 в первое уравнение:
2x - 5y = 23
Получаем x = 4.
Ответ: (4;-3)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события \(A \cap B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,3.
Ответ: 0,3
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 18 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим C = 0,0001 и U = 18 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0001·18² / 2 = 0,0162.
Ответ: 0,0162.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-x - 1 ≤ -5x + 9
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -x - 1 <= -5x + 9.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 4x <= 10.
Делим обе части на 4: x <= 2,5.
Значит, x меньше или равно 2,5.
Этому соответствует промежуток (-∞;2,5].
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 63 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 63 минут пройдёт 7 промежутков по 9 минут.
Тогда масса станет равна 400·(\(\frac{1}{2}\))^7 = 3,125 мг.
Ответ: 3,125.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 50 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
По теореме Пифагора квадрат неизвестного катета равен разности квадрата гипотенузы и квадрата известного катета.
x² = 50² - 40² = 2500 - 1600 = 900.
Значит, x = 30.
Ответ: 30.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 54°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.
Следовательно, ∠CBD = 41°.
Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 54° - 41° = 13°.
Ответ: 13.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Основание равно 3 + 8 = 11.
S = 11 · 4 = 44.
Ответ: 44.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
По клеткам диагонали равны 10 и 4.
S = 10 · 4 / 2 = 20.
Ответ: 20.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно: данных недостаточно без уточнения положения угла.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x+4)^4+6(x+4)^2-7=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x+4)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+6t-7=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t+7)(t-1)=0\).
Корни: \(t_1=-7\), \(t_2=1\).
Шаг 3. Берём только \(t=1\).
Шаг 4. Решаем \((x+4)^2=1\):
\(x+4=\pm1\Rightarrow x=-3\) или \(x=-5\).
Ответ: \(-5;\quad -3\).
Правильный ответ: -5;-3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 9) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: вторым — 216/x ч, первым — 216/(x+9) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:
216/x − 216/(x+9) = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x+9):
216·(x+9) − 216·x = 4·x·(x+9).
1944 = 4·x² + 36·x.
4x² + 36x − 1944 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.
x = (−36 + 180) / (2·4) = 18 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: второй — 216/18 = 12 ч, первый — 216/27 = 8 ч.
12 − 8 = 4 = 4. ✓
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}2x-2,& x<3,\\-3x+13,& 3\le x\le 4,\\1{,}5x-7,& x>4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: (-1;1)∪{4}.
Ответ: (-1;1)∪{4}.
Правильный ответ: (-1;1)∪{4}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 24, CD = 70, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 35.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 35, полухорда = AB/2 = 12.
R² = 35² + 12² = 1225 + 144 = 1369. R = 37.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 35.
d² = R² − 35² = 1369 − 1225 = 144. d = 12.
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).
Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).
Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.
Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 81, MD = 9, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.
Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.
Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).
Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?
Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).
Шаг 3. AM = AD − MD = 81 − 9 = 72.
AM² = 5184.
AH = AM² / AD = 5184 / 81 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).
Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 81 − \(\frac{81}{81}\) = 80.
Ответ: 80.
Правильный ответ: 80
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.