Загрузка заданий...

Вариант 2882 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,4 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	спальня	кухня	гостиная
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 1, спальня — 2, кухня — 3, гостиная — 8.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, спальня, кухня, гостиная.

Следовательно, ответ: 1238.

Ответ: 1238

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 60 см на 60 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в санузле?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По плану площадь покрытия санузла составляет 36 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м, поэтому площадь равна 36 · 0,16 = 5,76 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м.

Нужно элементов: 5,76 / 0,36 = 16.

В одной упаковке 5 штук, значит понадобится 4 упаковки.

Ответ: 4.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь меньшей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

По плану площадь нужного помещения составляет 27 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.

Значит, площадь равна 27 · 0,16 = 4,32 кв. м.

Ответ: 4,32.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади кладовой?

Решение

Разбор: Задание 4 →

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 24) / 24) · 100% = 200%.

Ответ: 200.

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «800»	900 руб. за 800 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб
План «1000»	1 050 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	1 100 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 850 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 850 Мб?

Решение

Разбор: Задание 5 →

Считаем стоимость интернета при трафике 850 Мб:

План «800»: 900 + 50 · 2 = 1 000 руб.

План «1000»: 1 050 руб.

План «Безлимитный»: 1 100 руб.

Самым дешёвым оказывается План «800»: 1 000 руб.

Ответ: 1 000.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,2 - 0,06$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,2 - 0,06$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,2) - 0,06 = 0,14$.

Ответ: $0,14$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Укажите число, которое больше -0,6, но меньше -0,24.
В ответе укажите номер правильного варианта.

-1,92

-4,7

$\sqrt{10}$

$-\frac{1}{4}$

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа -0,6 и -0,24. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 ($-\frac{1}{4}$) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{40} + \sqrt{10})\sqrt{10}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√40 + √10)·√10.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √40 = 2√10, √10 = 1√10.

Тогда получаем (2√10 + 1√10)·√10 = 3√10·√10.

Так как √10·√10 = 10, имеем 3·10 = 30.

Ответ: 30.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(-9x + 4)}{7} - \frac{(4x - 6)}{6} + 2x = 2$$

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: (-9x + 4)/7 - (4x - 6)/6 + 2x = 2

Домножим обе части на НОК знаменателей 7 и 6, то есть на 42.

Получим:

(-54x + 24) - (28x - 42) + 84x = 84

Приведём подобные слагаемые:

2x + 66 = 84

Перенесём число в правую часть:

2x = 18

Разделим обе части на 2:

x = 18 / 2

x = 9

Ответ: 9

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события B.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,75.

Ответ: 0,75

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) $y = -\dfrac{1}{2}x + 2$

Б) $y = \dfrac{1}{2}x - 4$

В) $y = -3x - 3$

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 123.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 50 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим C = 0,0002 и U = 50 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0002·50² / 2 = 0,25.

Ответ: 0,25.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 4)(x - 3) ≥ 0

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -4 и x = 3. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 3 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 3) >= 0 получаем решение (-∞;-4] ∪ [3;+∞). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 30 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 320 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 30 минут пройдёт 5 промежутков по 6 минут.

Тогда масса станет равна 320·($\frac{1}{2}$)^5 = 10 мг.

Ответ: 10.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 9/10, AB = 60. Найдите BC.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.

Значит, BC = AB · cos B = 60 · $\frac{9}{10}$ = 54.

Ответ: 54.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 22√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Для квадрата R = a√2 / 2.

Значит, a = R·√2 = 22√2 · √2 = 44.

Ответ: 44.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Периметр ромба равен 24, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Сторона ромба равна 24 / 4 = 6.

Площадь ромба равна a²·sin α.

S = 6² · sin 30° = 6² · $\frac{1}{2}$ = 18.

Ответ: 18.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 10 и 8.

S = 10 · 8 / 2 = 40.

Ответ: 40.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно: любая сторона треугольника меньше суммы двух других.

2) Верно: свойство биссектрисы угла.

3) Неверно: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник, не обязательно ромб.

Ответ: 12.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $6a-3b+19$, если $\dfrac{4a-5b+8}{5a-4b+8}=2$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $6a-3b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $4a-5b+8 = 2(5a-4b+8)$.

Шаг 2. Раскрываем: $4a-5b+8 = 10a-8b+16$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 6a-3b+8$, откуда $6a-3b = -8$.

Шаг 4. Вычисляем: $6a-3b+19 = -8+19 = 11$.

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 24 кг и 26 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 50 кг получается раствор с концентрацией 39%:

24·x + 26·y = 50·0,39 = 19,5 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 40%:

(x + y)/2 = 0,40 ⟹ x + y = 0,80 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 0,80 − x. Подставляем в (1):

24·x + 26·(0,80 − x) = 19,5

24x + 20,8 − 26x = 19,5

−2x = −1,3 ⟹ x = 0,65.

Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 24·0,65 = 15,6 кг.

Ответ: 15,6.

Правильный ответ: 15,6

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+0,25)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+0,25),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-1,25; -1; 1 $.

Ответ: $ -1,25; -1; 1 $.

Правильный ответ: -1,25; -1; 1

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 24, CD = 70, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 35.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 35, полухорда = AB/2 = 12.

R² = 35² + 12² = 1225 + 144 = 1369. R = 37.

Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 35.

d² = R² − 35² = 1369 − 1225 = 144. d = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.

Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 220 ⟹ a+b = 110.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·2420/110 = 44.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=110 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=44:

a = 22, b = 88.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 44·22/110 = 8,8.

Ответ: 8,8.

Правильный ответ: 8,8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.