Загрузка заданий...
Вариант 2921 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 210 | 148 |
| 2 | 594 | 420 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 420 | 297 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A5 равна \(\frac{1}{32}\) м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{10}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{6}) \cdot \frac{3}{10} = \frac{1}{20}\).
Получили дробь \(\frac{1}{20}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,05\).
Ответ: \(0,05\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что -2 < a < -1.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
2) -1 - a < 0 ⇔ a > -1 — неверно.
3) a + 1 < 0 ⇔ a < -1 — верно.
4) -a > 2 ⇔ a < -2 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{99} + \sqrt{99})\sqrt{11}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√99 + √99)·√11.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √99 = 3√11, √99 = 3√11.
Тогда получаем (3√11 + 3√11)·√11 = 6√11·√11.
Так как √11·√11 = 11, имеем 6·11 = 66.
Ответ: 66.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{4}{x + 5} = -1$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: 4/(x + 5) = -1
Область допустимых значений: x != -5.
Умножим обе части уравнения на x + 5:
4 = -1(x + 5)
Раскроем скобки:
4 = -1x - 5
Перенесём число в левую часть:
9 = -1x
x = 9 / -1
x = -9
Проверка ОДЗ: x = -9, x != -5, условие выполняется.
Ответ: -9
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Яша не выучил 11 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 39 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{39}{50}\) = 0,78.
Ответ: 0,78.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k < 0, b > 0
2) k > 0, b > 0
3) k < 0, b < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 321.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 14 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим C = 0,0002 и U = 14 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·14² / 2 = 0,0196.
Ответ: 0,0196.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x + 0,2 \geqslant 3,9 \\ x + 0,2 \leqslant 6,8 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [3,7;6,6]. Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 560 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 560, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 25 см, а после 4-го уже меньше.
Ответ: 4.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 14, AB = 20. Найдите cos B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.
cos B = BC / AB = \(\frac{14}{20}\) = 0,7.
Ответ: 0,7.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Периметр треугольника равен 56, одна из сторон равна 19, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.
p = 56 / 2 = 28.
S = p·r = 28 · 3 = 84.
Ответ: 84.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 3 и 5, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
S = (3 + 5) / 2 · 5 = 20.
Ответ: 20.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка BM?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.
M делит AB: вектор AM=(2,25; 4,5)=\(\frac{3}{4}\)·AB=(3,6). AM=3·BM.
Ответ: 3.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно: не каждая биссектриса.
2) Верно.
3) Неверно: касательная перпендикулярна радиусу.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-16}{(x+2)^2-5}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: числитель \(-16<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x+2)^2-5<0\).
Шаг 2. \((x+2)^2<5\).
Шаг 3. \(-\sqrt{5}<x+2<\sqrt{5}\).
Шаг 4. Вычитаем 2: \(-2-\sqrt{5}<x<-2+\sqrt{5}\).
Ответ: \((-2-\sqrt{5};\; -2+\sqrt{5})\).
Правильный ответ: (-2-√5;-2+√5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 9) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: вторым — 216/x ч, первым — 216/(x+9) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:
216/x − 216/(x+9) = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x+9):
216·(x+9) − 216·x = 4·x·(x+9).
1944 = 4·x² + 36·x.
4x² + 36x − 1944 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.
x = (−36 + 180) / (2·4) = 18 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: второй — 216/18 = 12 ч, первый — 216/27 = 8 ч.
12 − 8 = 4 = 4. ✓
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x-4,& x<3,\\-1{,}5x+4{,}5,& 3\le x\le 4,\\1{,}5x-7{,}5,& x>4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {-1,5}∪[-1;0].
Ответ: {-1,5}∪[-1;0].
Правильный ответ: {-1,5}∪[-1;0]
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.
Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(15² + 20²) = √625 = 25.
Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 15·\(\frac{20}{2}\) = 150.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 25·h/2.
Шаг 4. Приравниваем: 25·h/2 = 150 ⟹ h = 15·\(\frac{20}{25}\) = 12.
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка L — середина стороны AB. Докажите, что DL — биссектриса угла ADC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.
Шаг 1. AB = 2·AD (по условию), L — середина AB.
Значит AB/2 = AD/2 ... нет: AB = AB, AB/2 = AD.
Шаг 2. В параллелограмме AD ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,
образованном DL и соседними сторонами, два угла при основании равны.
(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)
Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ DL — биссектриса угла ADC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5 : 4, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.
Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.
BF : FH = 5 : 4 (дано).
Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.
Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.
В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.
Шаг 3. Из отношения BF:FH = 5:4:
tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.
BF/FH = \(\frac{5}{4}\) ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = \(\frac{5}{4}\).
Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:
sin A = 2·4/(5+4) · ... = BC/(2R).
Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 12/(2·sin A) = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.