Загрузка заданий...
Вариант 2923 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 297 | 210 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна \(\frac{1}{32}\) м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A1 равна половине площади A0: \(\frac{1}{2}\) м². Масса одного листа: 120 · \(\frac{1}{2}\) = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} : \frac{8}{7}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{1} : \frac{8}{7}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{1}) : \frac{8}{7} = \frac{7}{8}\).
Получили дробь \(\frac{7}{8}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,875\).
Ответ: \(0,875\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел расположено между числами -1,4 и 3,61?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа -1,4 и 3,61. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (\(\frac{293}{100}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$7^{-3} \cdot (7^2)^3$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 7^(-3) · (7^2)^3.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^2)^3 = 7^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 7^-3 · 7^6 = 7^3.
Получаем 7^3 = 343.
Ответ: 343.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 4x - 5y = -37 \\ -6x + 8y = 56 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
4x - 5y = -37
-6x + 8y = 56
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на 4.
Получим:
\((4x - 5y = -37) \cdot -6\): -24x + 30y = 222
\((-6x + 8y = 56) \cdot 4\): -24x + 32y = 224
Вычтем второе уравнение из первого:
-2y = -2
y = -2 / -2 = 1
Подставим y = 1 в первое уравнение:
4x - 5y = -37
Получаем x = -8.
Ответ: (-8;1)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.8 и 0.2: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.625, по нижнему 0.15.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.8 · 0.625 = 0.5.
Нижний путь: 0.2 · 0.15 = 0.03.
Складываем: 0.5 + 0.03 = 0.53.
Ответ: 0,53
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = 2x - 4\)
Б) \(y = \sqrt{x}\)
В) \(y = x^2 - 4\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 30 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t_C = 30 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(30) + 32 = 86.
Ответ: 86.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 0,9 − 2x \geqslant 15,7 \\ 3x − 3 > -25,2 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 15, d = 3, n = 11.
Сначала найдём последний ряд: a11 = 15 + (11 - 1)·3 = 45.
Сумма первых 11 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 11·(15 + 45)/2 = 330.
Ответ: 330.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 9/7, BC = 42. Найдите AC.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.
Значит, AC = BC · tg B = 42 · \(\frac{9}{7}\) = 54.
Ответ: 54.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 48°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.
В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 48° = 42°.
Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.
Следовательно, ∠NMB = 42°.
Ответ: 42.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 68°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Угол A равен 180° - 68° = 112°.
Так как AC — биссектриса, ∠CAD = 112° / 2 = 56°.
В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° - 56° - 68° = 56°.
Ответ: 56.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок MC длиннее отрезка AM?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.
M лежит на AC. По клеткам: AM=2, MC=8. MC=4·AM.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(35a-43b+38\), если \(\dfrac{7a-6b+4}{6a-7b+4}=7\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(35a-43b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(7a-6b+4 = 7(6a-7b+4)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(7a-6b+4 = 42a-49b+28\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 35a-43b+24\), откуда \(35a-43b = -24\).
Шаг 4. Вычисляем: \(35a-43b+38 = -24+38 = 14\).
Ответ: 14.
Правильный ответ: 14
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут быстрее, чем первая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 16) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/(x−16) мин, второй — 105/x мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:
105/(x−16) − 105/x = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x−16):
105·x − 105·(x−16) = 4·x·(x−16).
1680 = 4·x² − 64·x.
4x² − 64x − 1680 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.
x = (64 + 176) / (2·4) = 30 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = \(\frac{15}{2}\) мин, вторая — 105/30 = \(\frac{7}{2}\) мин.
\(\frac{15}{2}\) − \(\frac{7}{2}\) = 4 = 4. ✓
Ответ: 30.
Правильный ответ: 30
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{5x-8}{5x^2-8x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=8/5 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=8/5 \), откуда \( k=25/64 \).
Ответ: \(\frac{25}{64}\).
Правильный ответ: 25/64
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 11, AC = 44, NC = 36.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = \(\frac{11}{44}\) = \(\frac{1}{4}\).
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{1}{4}\), то есть BN = 1·BC/4.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 36.
Подставляем: BN = 1·(BN + 36)/4.
4·BN = 1·BN + 1·36.
(4−1)·BN = 36 ⟹ BN = 36/(4−1) = 12.
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые IJ и AB перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. IA = IB (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка I равноудалена от A и B
⟹ I лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Шаг 2. JA = JB (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка J тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая IJ совпадает с серединным перпендикуляром к AB.
Следовательно, IJ ⟂ AB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 22 и 99 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=22 и R=99.
O₁O₂ = r + R = 121 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(99·22) = 2√2178 = 66√2.
Ответ: 66√2.
Правильный ответ: 66√2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.