Загрузка заданий...

Вариант 2935 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	148	105
4	297	210

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна $\frac{1}{32}$ м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь листа A1 равна половине площади A0: $\frac{1}{2}$ м². Масса одного листа: 120 · $\frac{1}{2}$ = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$3,5 \cdot 0,12$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $3,5 \cdot 0,12$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(3,5) \cdot 0,12 = 0,42$.

Ответ: $0,42$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

a < 7

$\frac{1}{a} < 0$

-a < -8

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 7 < a < 8.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — верно.

2) a < 7 ⇔ a < 7 — неверно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) -a < -8 ⇔ a > 8 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{11} - 2)(\sqrt{11} + 2)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√11 - 2)(√11 + 2).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√11)² - 2² = 11 - 4 = 7.

Ответ: 7.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 3x - 18 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² - 3x - 18 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -3, c = -18.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -3² - 4·1·-18 = 81.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (3 - √81) / 2 = -3

x₂ = (3 + √81) / 2 = 6

Ответ: -3;6

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, 15 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 150.

Благоприятных исходов: 135 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 135/150 = 0,9.

Ответ: 0,9.

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

Коэффициенты

А) k > 0, b > 0

Б) k > 0, b < 0

В) k < 0, b > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 213.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 167 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_F = 167 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(167 − 32)/9 = 75.

Ответ: 75.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² - 64 ≤ 0

(-∞;-8] ∪ [8;+∞)

(-∞;-8) ∪ (8;+∞)

[-8;8]

(-8;8)

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Решаем x² - 64 <= 0. Нули: x = -8 и x = 8. Верное решение: [-8;8]. Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 18 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 18, q = 3.

За 60 минут пройдёт 3 промежутков по 20 минут.

Получаем массу 18·3^3 = 486 мг.

Ответ: 486.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 73°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

BH — высота, значит BH ⟂ AC.

Угол между AB и AC равен 73°.

Тогда угол между AB и BH равен 90° - 73° = 17°.

Ответ: 17.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен √5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда O — середина стороны CD.

По теореме Пифагора OA² = a² + (a/2)² = 5a²/4.

Следовательно, OA = a√5 / 2.

По условию OA = √5, значит a = 2.

Площадь квадрата равна a² = 4.

Ответ: 4.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 12, BD = 20, AB = 7. Найдите DO.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, DO = BD / 2 = 20 / 2 = 10.

Ответ: 10.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 5 и 9.

m = (5 + 9) / 2 = 7.

Ответ: 7.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно: из равенства трёх углов следует подобие, а не равенство.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}6x^2+y=14,\\12x^2-y=4.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения.

Шаг 1. Складываем:

$(6x^2+y)+(12x^2-y)=14+4\Rightarrow 18x^2=18$.

Шаг 2. $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=14-6x^2=14-6=8$.

Ответ: $(-1;\,8);\ (1;\,8)$.

Правильный ответ: (-1;8);(1;8)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 5) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: первым — 180/x ч, вторым — 180/(x−5) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:

180/(x−5) − 180/x = 3.

Шаг 4. Умножаем на x(x−5):

180·x − 180·(x−5) = 3·x·(x−5).

900 = 3·x² − 15·x.

3x² − 15x − 900 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 15² + 4·3·900 = 225 + 10800 = 11025, √D = 105.

x = (15 + 105) / (2·3) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первый — 180/20 = 9 ч, второй — 180/15 = 12 ч.

12 − 9 = 3 = 3. ✓

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{9x+1}{9x^2+1x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-1/9 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=-1/9 $, откуда $ k=81 $.

Ответ: 81.

Правильный ответ: 81

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 24 и CH = 6. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 24 + 6 = 30.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 30 и катетом DH = 24.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(30² − 24²) = √(324) = 18.

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые EF и CD перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. EC = ED (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка E равноудалена от C и D

⟹ E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.

Шаг 2. FC = FD (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка F тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к CD.

Следовательно, EF ⟂ CD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √15/4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 4 · 15 = 60.

AT = √60.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 11 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{15}{4}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.