Загрузка заданий...
Вариант 2938 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 210 | 148 |
| 2 | 594 | 420 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 420 | 297 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A5 равна \(\frac{1}{32}\) м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$10 - 8,75$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(10 - 8,75\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((10) - 8,75 = 1,25\).
Ответ: \(1,25\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что -2 < a < -1.
Проверим варианты ответа:
1) a < -1 ⇔ a < -1 — верно.
2) -1 - a < 0 ⇔ a > -1 — неверно.
3) -2 - a > 0 ⇔ a < -2 — неверно.
4) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{11} \cdot 3\sqrt{6} \cdot \sqrt{66}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 3√11 · 3√6 · √66.
Перемножим коэффициенты: 3 · 3 = 9.
Подкоренные выражения дают: √11 · √6 · √66 = √(11·6·66) = √(4356) = 66.
Тогда всё выражение равно 9 · 66 = 594.
Ответ: 594.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -8x + y = 43 \\ 6x - 7y = -51 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-8x + y = 43
6x - 7y = -51
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 6, а второе — на -8.
Получим:
\((-8x + y = 43) \cdot 6\): -48x + 6y = 258
\((6x - 7y = -51) \cdot -8\): -48x + 56y = 408
Вычтем второе уравнение из первого:
-50y = -150
y = -150 / -50 = 3
Подставим y = 3 в первое уравнение:
-8x + y = 43
Получаем x = -5.
Ответ: (-5;3)
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 75 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 100.
Благоприятных исходов: 25 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 25/100 = 0,25.
Ответ: 0,25.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) \(y = -2x + 2\)
2) \(y = -\dfrac{1}{2}x\)
3) \(y = 2x + 3\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 132.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 8 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 627,2 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 627,2/(9,8·8) = 8.
Ответ: 8.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
4x + 8 < 5x + 1
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: 4x + 8 < 5x + 1.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -1x > -7.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -1: x > 7.
Значит, x больше 7.
Этому соответствует промежуток (7;+∞).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 24 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 7 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 24, d = -7.
Последний положительный член прогрессии равен 3, значит секунд движения до полной остановки было 4.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 4·(24 + 3)/2 = 54.
Ответ: 54.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 2/5, AB = 10. Найдите BC.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.
Значит, BC = AB · cos B = 10 · \(\frac{2}{5}\) = 4.
Ответ: 4.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 20. Найдите высоту этой трапеции.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Окружность касается обоих оснований трапеции.
Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.
h = 2r = 2 · 20 = 40.
Ответ: 40.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание, если высота равна 5, меньшее основание равно 7, а угол при основании равен 45°.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
При угле 45° каждый из двух боковых прямоугольных треугольников имеет горизонтальный катет, равный высоте.
Прибавляем по 5 с каждой стороны к меньшему основанию: 7 + 2·5 = 17.
Ответ: 17.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 5 и 9.
m = (5 + 9) / 2 = 7.
Ответ: 7.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5x^2+y^2=61,\\15x^2+3y^2=61x.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: умножим первое уравнение на 3.
Шаг 1. Умножаем первое на 3: \(15x^2+3y^2=183\).
Шаг 2. По второму: \(15x^2+3y^2=61x\).
Шаг 3. Приравниваем правые части:
\(183=61x\Rightarrow x=3\).
Шаг 4. Подставляем \(x=3\):
\(5\cdot9+y^2=61\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm4\).
Ответ: \((3;\,-4);\ (3;\,4)\).
Правильный ответ: (3;-4);(3;4)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 96 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/84 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/96 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/84 + S/96) = 2 / (\(\frac{1}{84}\) + \(\frac{1}{96}\)).
Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·84·96 / (84 + 96) = 16128 / 180 = 89,6 км/ч.
Ответ: 89,6.
Правильный ответ: 89,6
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{6x+7}{6x^2+7x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-7/6 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=-7/6 \), откуда \( k=36/49 \).
Ответ: \(\frac{36}{49}\).
Правильный ответ: 36/49
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 15, а AB = 4.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.
Шаг 1. Из условия задачи D = 15, AB = 4.
Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².
AC² − 15·AC − 4² = 0.
Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 15·AC − 16 = 0.
Положительный корень: AC = 16.
Проверка: D = (16² − 4²)/16 = 240/16 = 15. ✓
Ответ: 16.
Правильный ответ: 16
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.
Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 4. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 53° + 37° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 19 и 4.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 19 и (b-a)/2 = 4 (или наоборот).
a+b = 38, b-a = 8.
b = 23, a = 15.
Ответ: 15; 23.
Правильный ответ: 15; 23
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.