Загрузка заданий...

Вариант 2948 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	1189	841
4	210	148

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.

3 Задание 3 1 балл

Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.

4 Задание 4 1 балл

Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.

5 Задание 5 1 балл

Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} + \frac{1}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} + \frac{1}{10}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) + \frac{1}{10} = \frac{11}{10}$.

Получили дробь $\frac{11}{10}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $1,1$.

Ответ: $1,1$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

4 - a > 0

-a > -3

$\frac{1}{a} < 0$

4 - a < 0

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 3 < a < 4.

Проверим варианты ответа:

1) 4 - a > 0 ⇔ a < 4 — верно.

2) -a > -3 ⇔ a < 3 — неверно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) 4 - a < 0 ⇔ a > 4 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{150} + \sqrt{6})\sqrt{6}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√150 + √6)·√6.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √150 = 5√6, √6 = 1√6.

Тогда получаем (5√6 + 1√6)·√6 = 6√6·√6.

Так как √6·√6 = 6, имеем 6·6 = 36.

Ответ: 36.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 2x - 48 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² + 2x - 48 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 2, c = -48.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 2² - 4·1·-48 = 196.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-2 - √196) / 2 = -8

x₂ = (-2 + √196) / 2 = 6

Ответ: -8;6

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.65 и 0.35: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.15, по нижнему 0.15.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.65 · 0.15 = 0.0975.

Нижний путь: 0.35 · 0.15 = 0.0525.

Складываем: 0.0975 + 0.0525 = 0.15.

Ответ: 0,15

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = -2x - 3$

2) $y = -2x - 2$

3) $y = \dfrac{1}{2}x + 2$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 123.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2000 кг обладает кинетической энергией 225 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 225·1000 = 225 000 Дж.

v = √(2·225 000/2000) = 15.

Ответ: 15.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

6x - x² ≥ 0

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Разложим: 6x - x² = x(6 - x). Нули: 0 и 6. Верное решение: [0;6]. Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 32 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 32 минут пройдёт 4 промежутков по 8 минут.

Тогда масса станет равна 200·($\frac{1}{2}$)^4 = 12,5 мг.

Ответ: 12,5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 17. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 12 · 17 = 204/2 = 102.

Ответ: 102.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 54°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

∠C = 180° - 54° = 126°.

Ответ: 126.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Площадь параллелограмма равна 54, а две его стороны равны 9 и 18. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.

h₁ = 54 / 9 = 6, h₂ = 54 / 18 = 3.

Требуемая высота равна 3.

Ответ: 3.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 4 и 2.

Искомое отношение площадей равно (4 / 2)² = 4.

Ответ: 4.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $34a-6b+38$, если $\dfrac{2a-6b+6}{6a-2b+6}=6$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $34a-6b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $2a-6b+6 = 6(6a-2b+6)$.

Шаг 2. Раскрываем: $2a-6b+6 = 36a-12b+36$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 34a-6b+30$, откуда $34a-6b = -30$.

Шаг 4. Вычисляем: $34a-6b+38 = -30+38 = 8$.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 20%. Сколько сухих фруктов получится из 305 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Свежие фрукты содержат 84% воды, значит сухого вещества 16%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 305 кг свежих фруктов:

305 · 16/100 = 48,8 кг.

Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 20% воды, значит сухого вещества 80%.

Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,80·x = 48,8.

x = 48,8 / 0,80 = 61 кг.

Ответ: 61.

Правильный ответ: 61

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+4x+4,& x\ge -3,\\-\dfrac{3}{x},& x<-3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪[1;+∞).

Ответ: {0}∪[1;+∞).

Правильный ответ: {0}∪[1;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 43, BC = 18, CF : DF = 3 : 2.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 3:2 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 3:2 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (2·18 + 3·43) / (3+2).

Шаг 3. EF = (36 + 129) / 5 = 165 / 5 = 33.

Ответ: 33.

Правильный ответ: 33

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Шаг 1. Точка M лежит на биссектрисе угла A.

⟹ расстояние от M до обеих сторон угла A одинаково.

Шаг 2. Точка M лежит на биссектрисе угла D.

⟹ расстояние от M до обеих сторон угла D одинаково.

Шаг 3. Объединяя: расстояние от M до каждой из прямых AB, AD и CD одинаково. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 12, BC = 9.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.

Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.

BE — касательная: BE² = степень точки B.

Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).

Степень точки B: BE² = BC · BD.

Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 12 (вертикальная хорда).

BE² = BC · BD = 9 · 12 = 108.

BE = √108 = 6√3.

Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 6√3.

Ответ: 6√3.

Правильный ответ: 6√3

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.