Загрузка заданий...
Вариант 2955 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 210 | 148 |
| 2 | 594 | 420 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 420 | 297 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A5 равна \(\frac{1}{32}\) м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{8}{5} \cdot \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{8}{5} \cdot \frac{1}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{8}{5}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{5}\).
Получили дробь \(\frac{4}{5}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,8\).
Ответ: \(0,8\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что -5 < a < -4.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
2) a > -5 ⇔ a > -5 — верно.
3) a + 5 < 0 ⇔ a < -5 — неверно.
4) -4 - a < 0 ⇔ a > -4 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√5 - 3)(√5 + 3).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√5)² - 3² = 5 - 9 = -4.
Ответ: -4.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -3x + 6y = 51 \\ 7x + 7y = -14 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-3x + 6y = 51
7x + 7y = -14
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 7, а второе — на -3.
Получим:
\((-3x + 6y = 51) \cdot 7\): -21x + 42y = 357
\((7x + 7y = -14) \cdot -3\): -21x - 21y = 42
Вычтем второе уравнение из первого:
63y = 315
y = 315 / 63 = 5
Подставим y = 5 в первое уравнение:
-3x + 6y = 51
Получаем x = -7.
Ответ: (-7;5)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 20 билетов, Олег не выучил 13 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 20.
Благоприятных исходов: 7 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{7}{20}\) = 0,35.
Ответ: 0,35.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) \(y = -3x - 4\)
Б) \(y = -3x - 2\)
В) \(y = -\dfrac{1}{2}x - 3\)
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 321.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1000 кг обладает кинетической энергией 50 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 50·1000 = 50 000 Дж.
v = √(2·50 000/1000) = 10.
Ответ: 10.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 6x − 0,3 \leqslant 4,5 \\ 6x − 1,8 < -3 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;-0,2). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 14 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 100 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 14, q = 3.
За 100 минут пройдёт 5 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 14·3^5 = 3402 мг.
Ответ: 3402.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 3, AC = 18. Найдите tg B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике tg острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC.
tg B = AC / BC = \(\frac{18}{3}\) = 6.
Ответ: 6.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 12, а tg ∠BCA = 7/24. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.
Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:
tg ∠BCA = BD / AC, значит BD = AC · tg ∠BCA = 12 · \(\frac{7}{24}\) = 3,5.
Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 12 · 3,5 / 2 = 21.
Сторона ромба a = √((\(\frac{12}{2}\))² + (3,\(\frac{5}{2}\))²) = 6,25.
Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.
r = S / (2a) = 21 / (2·6,25) = 1,68.
Ответ: 1,68.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.
Биссектриса делит угол A пополам.
Следовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 41° = 82°.
Ответ: 82.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
По клеткам основания равны 5 и 9, высота равна 5.
S = (5 + 9) / 2 · 5 = 35.
Ответ: 35.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно.
2) Неверно: тупым может быть только один угол.
3) Верно.
Ответ: 13.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3x^2+2y^2=50,\\12x^2+8y^2=50x.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: умножим первое уравнение на 4.
Шаг 1. Умножаем первое на 4: \(12x^2+8y^2=200\).
Шаг 2. По второму: \(12x^2+8y^2=50x\).
Шаг 3. Приравниваем правые части:
\(200=50x\Rightarrow x=4\).
Шаг 4. Подставляем \(x=4\):
\(3\cdot16+2y^2=50\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1\).
Ответ: \((4;\,-1);\ (4;\,1)\).
Правильный ответ: (4;-1);(4;1)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км — со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.
Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):
t₁ = 300/60 = 5 ч,
t₂ = 300/100 = 3 ч,
t₃ = 300/75 = 4 ч.
Шаг 2. Общее расстояние: 300 + 300 + 300 = 900 км.
Шаг 3. Общее время: 5 + 3 + 4 = 12 ч.
Шаг 4. Средняя скорость: 900 / 12 = 75 км/ч.
Ответ: 75.
Правильный ответ: 75
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2-10x+27,& x\ge 4,\\x,& x<4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {2}∪(3;4).
Ответ: {2}∪(3;4).
Правильный ответ: {2}∪(3;4)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 24, CD = 70, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 35.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 35, полухорда = AB/2 = 12.
R² = 35² + 12² = 1225 + 144 = 1369. R = 37.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 35.
d² = R² − 35² = 1369 − 1225 = 144. d = 12.
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высоты из E до противоположных сторон в сумме дают высоту параллелограмма.
Шаг 1. Пусть h₁ — расстояние от E до BC, h₂ — до AD. Тогда h₁ + h₂ = h (высота параллелограмма).
Шаг 2. S(BEC) = BC·h₁/2; S(AED) = AD·h₂/2.
Так как BC = AD (параллелограмм): S(BEC)+S(AED) = AD·(h₁+h₂)/2 = AD·h/2 = S(ABCD)/2. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 8 и 5. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 53° + 37° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 8 и 5.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 8 и (b-a)/2 = 5 (или наоборот).
a+b = 16, b-a = 10.
b = 13, a = 3.
Ответ: 3; 13.
Правильный ответ: 3; 13
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.