Загрузка заданий...

Вариант 3024 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,5 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	гостиная
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 7, кладовая — 2, спальня — 3, гостиная — 4.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, гостиная.

Следовательно, ответ: 7234.

Ответ: 7234

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 80 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в коридоре?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По плану площадь покрытия коридора составляет 144 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м, поэтому площадь равна 144 · 0,25 = 36 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,8 = 0,16 кв. м.

Нужно элементов: 36 / 0,16 = 225.

В одной упаковке 5 штук, значит понадобится 45 упаковок.

Ответ: 45.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь коридора. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

По плану площадь нужного помещения составляет 144 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м.

Значит, площадь равна 144 · 0,25 = 36 кв. м.

Ответ: 36.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь гостиной больше площади спальни?

Решение

Разбор: Задание 4 →

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 154 клетки, второе: 88 клеток.

На сколько процентов первое больше второго: ((154 − 88) / 88) · 100% = 75%.

Ответ: 75.

5 Задание 5 1 балл

Модель	Вместимость барабана (кг)	Тип загрузки	Стоимость (руб.)	Стоимость подключения (руб.)	Стоимость доставки (% от стоимости машины)	Габариты (высота × ширина × глубина, см)
А	7	верт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Б	5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 40
В	5	фронт.	25 000	5 000	10	85 × 60 × 40
Г	6,5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 44
Д	6	фронт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Е	6	верт.	27 600	2 300	бесплатно	89 × 60 × 40
Ж	6	верт.	27 585	1 900	10	89 × 60 × 40
З	6	фронт.	20 000	6 300	15	85 × 60 × 42
И	5	фронт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40
К	5	верт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40

В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с вертикальной загрузкой вместимостью не менее 6 кг. Какая стиральная машина, удовлетворяющая этим условиям, обойдётся дешевле всего с учётом доставки и подключения? В ответе запишите стоимость этой покупки в рублях.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.

Модель А: 28 000 + 1 700 + доставка бесплатная = 29 700 руб.

Модель Е: 27 600 + 2 300 + доставка бесплатная = 29 900 руб.

Модель Ж: 27 585 + 1 900 + доставка: 10% от 27 585 = 2758,5 руб. = 32243,5 руб.

Наименьшая стоимость у модели А: 29 700 руб.

Ответ: 29 700.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{2} + \frac{4}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{2} + \frac{4}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{2}) + \frac{4}{1} = \frac{11}{2}$.

Получили дробь $\frac{11}{2}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $5,5$.

Ответ: $5,5$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

-a > 2

-3 - a > 0

-2 - a < 0

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что -3 < a < -2.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

2) -a > 2 ⇔ a < -2 — верно.

3) -3 - a > 0 ⇔ a < -3 — неверно.

4) -2 - a < 0 ⇔ a > -2 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{63} + \sqrt{7})\sqrt{7}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√63 + √7)·√7.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √63 = 3√7, √7 = 1√7.

Тогда получаем (3√7 + 1√7)·√7 = 4√7·√7.

Так как √7·√7 = 7, имеем 4·7 = 28.

Ответ: 28.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 5x - 2y = 8 \\ -4x - y = -9 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

5x - 2y = 8

-4x - y = -9

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -4, а второе — на 5.

Получим:

$(5x - 2y = 8) \cdot -4$: -20x + 8y = -32

$(-4x - y = -9) \cdot 5$: -20x - 5y = -45

Вычтем второе уравнение из первого:

13y = 13

y = 13 / 13 = 1

Подставим y = 1 в первое уравнение:

5x - 2y = 8

Получаем x = 2.

Ответ: (2;1)

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 25 машин: 8 чёрных, 14 жёлтых и 3 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 25.

Благоприятных исходов: 14 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{14}{25}$ = 0,56.

Ответ: 0,56.

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 6, sinα = 0,545, а S = 24,545.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).

d₂ = 2·24,545/(6·0,545) = 15.

Ответ: 15.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 5)(x - 2) ≤ 0

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -5 и x = 2. На числовой прямой отмечаем точки -5 и 2 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 5)(x - 2) <= 0 получаем решение [-5;2]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 56 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 56 минут пройдёт 7 промежутков по 8 минут.

Тогда масса станет равна 200·($\frac{1}{2}$)^7 = 1,5625 мг.

Ответ: 1,5625.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 26°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

Биссектриса делит угол пополам.

Поэтому ∠BAD = 26° : 2 = 13°.

Ответ: 13.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 30. Найдите высоту этой трапеции.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Окружность касается обоих оснований трапеции.

Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.

h = 2r = 2 · 30 = 60.

Ответ: 60.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.

sin 150° = $\frac{1}{2}$.

h = 34 · $\frac{1}{2}$ = 17.

Ответ: 17.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 8 и 4.

Искомое отношение площадей равно (8 / 4)² = 4.

Ответ: 4.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Тангенс любого острого угла меньше единицы.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно: тангенс острого угла может быть больше 1.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(7-x)(x^2-49)\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: разложить $x^2-49$ и $(7-x)$ через $(x-7)$, собрать в одно выражение.

Шаг 1. Разложения: $x^2-49=(x-7)(x+7)$ и $7-x=-(x-7)$.

Шаг 2. Перемножаем: $(7-x)(x^2-49)=-(x-7)\cdot(x-7)(x+7)=-(x-7)^2(x+7)$.

Шаг 3. Неравенство принимает вид: $-(x-7)^2(x+7)\ge0$.

Шаг 4. Делим на $-1$ — знак меняется: $(x-7)^2(x+7)\le0$.

Шаг 5. Анализ: $(x-7)^2\ge0$ всегда.

Произведение $\le0$ при двух условиях:

а) $x+7\le0$ и $(x-7)^2>0$, то есть $x\le-7$ (и $x\ne7$, что выполнено);

б) $(x-7)^2=0$, то есть $x=7$ (тогда произведение равно нулю).

Ответ: $(-\infty;\;-7]\cup\{7\}$.

Правильный ответ: (-∞;-7]∪{7}

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 6 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время первого автомобиля равно времени второго, разделить путь на половины.

Шаг 1. Пусть скорость первого автомобиля равна x км/ч, длина пути — S км.

Шаг 2. Время первого: S/x. Время второго: S/(2·55) + S/(2·(x+6)).

Шаг 3. Прибыли одновременно, значит: S/x = S/(2·55) + S/(2·(x+6)).

Шаг 4. Делим на S и умножаем на 2·55·x·(x+6):

2·55·(x+6) = x·(x+6) + 55·x.

Шаг 5. Раскрываем и упрощаем: x² + -49x − 660 = 0.

Шаг 6. D = -49² + 4·660 = 5041, √D = 71.

x = (−-49 + 71) / 2 = 60 (берём положительный корень).

Ответ: 60.

Правильный ответ: 60

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-8x+14,& x\ge 3,\\x-2,& x<3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {-2}∪(-1;1).

Ответ: {-2}∪(-1;1).

Правильный ответ: {-2}∪(-1;1)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 32, а сторона AC в 1,6 раза больше стороны BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.

Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.

∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).

По двум углам: △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.

По условию AC = 1,6·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.

KP = AK · BC/AC = AK / 1,6 = 32 / 1,6 = 20.

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB и равны по условию.

По обратной теореме о вписанном угле точки A, B, C, D лежат на одной окружности.

Шаг 2. В этой окружности углы BCA и BDA опираются на одну хорду BA.

Вписанные углы на одну хорду равны ⟹ ∠BCA = ∠BDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 40 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √5/3.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 18 · 40 = 720.

AT = √720.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 22 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{5}{3}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 13,5.

Ответ: 13,5.

Правильный ответ: 13,5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.