Загрузка заданий...
Вариант 3045 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,7 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | кладовая | кухня | гостиная |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Задание 1 →
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 5, кладовая — 2, кухня — 6, гостиная — 3.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, кухня, гостиная.
Следовательно, ответ: 5263.
Ответ: 5263
2
Задание 2
1 балл
Паркетная доска размером 20 см на 40 см продаётся в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в спальне?
Решение
Разбор: Задание 2 →
По плану площадь покрытия спальни составляет 88 клеток.
Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м, поэтому площадь равна 88 · 0,49 = 43,12 кв. м.
Площадь одной доски: 0,2 · 0,4 = 0,08 кв. м.
Нужно элементов: 43,12 / 0,08 = 539.
В одной упаковке 10 штук, значит понадобится 54 упаковки.
Ответ: 54.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь большей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Разбор: Задание 3 →
По плану площадь нужного помещения составляет 33 клетки.
Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м.
Значит, площадь равна 33 · 0,49 = 16,17 кв. м.
Ответ: 16,17.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь коридора больше площади кухни?
Решение
Разбор: Задание 4 →
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 144 клетки, второе: 72 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 72) / 72) · 100% = 100%.
Ответ: 100.
5
Задание 5
1 балл
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| План «600» | 650 руб. за 600 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб |
| План «900» | 820 руб. за 900 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб |
| План «Безлимитный» | 930 руб. за неограниченное количество Мб трафика | — |
В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 700 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 700 Мб?
Решение
Разбор: Задание 5 →
Считаем стоимость интернета при трафике 700 Мб:
План «600»: 650 + 100 · 2 = 850 руб.
План «900»: 820 руб.
План «Безлимитный»: 930 руб.
Самым дешёвым оказывается План «900»: 820 руб.
Ответ: 820.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{4} - 0,005$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{4} - 0,005\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{4}) - 0,005 = 0,745\).
Получили результат \(0,745\).
Ответ: \(0,745\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел -3,03, \(\frac{-8}{5}\), \(\frac{\sqrt{11}}{2}\), \(\sqrt{24}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -4 и -3.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -3,03 ≈ -3,03
2) \(\frac{-8}{5}\) ≈ -1,6
3) \(\frac{\sqrt{11}}{2}\) ≈ 1,6583
4) \(\sqrt{24}\) ≈ 4,899
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(2\sqrt{2})^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (2√2)².
Используем свойство степени произведения: (2√2)² = 2² · (√2)².
Получаем 4 · 2 = 8.
Ответ: 8.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 2x + 6y = 40 \\ -5x - 6y = -19 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
2x + 6y = 40
-5x - 6y = -19
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -5, а второе — на 2.
Получим:
\((2x + 6y = 40) \cdot -5\): -10x - 30y = -200
\((-5x - 6y = -19) \cdot 2\): -10x - 12y = -38
Вычтем второе уравнение из первого:
-18y = -162
y = -162 / -18 = 9
Подставим y = 9 в первое уравнение:
2x + 6y = 40
Получаем x = -7.
Ответ: (-7;9)
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 51 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 100.
Благоприятных исходов: 49 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 49/100 = 0,49.
Ответ: 0,49.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -x^2 - 2\)
Б) \(y = \sqrt{x}\)
В) \(y = -2x - 4\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.
Ответ: 312
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 167 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t_F = 167 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(167 − 32)/9 = 75.
Ответ: 75.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 1)(x - 7) < 0
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -1 и x = 7. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 7 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 7) < 0 получаем решение (-1;7). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 16 рядов. В первом ряду 24 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в четырнадцатом ряду амфитеатра?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 24, d = 3.
Найдём 14-й член: a14 = a₁ + (14 - 1)·d = 24 + 13·3 = 63.
Ответ: 63.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 11 и 6. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = \(\frac{1}{2}\) · 11 · 6 = \(\frac{66}{2}\) = 33.
Ответ: 33.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 43°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.
В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 43° = 47°.
Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.
Следовательно, ∠NMB = 47°.
Ответ: 47.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.
Биссектриса делит угол A пополам.
Следовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 15° = 30°.
Ответ: 30.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=3: t=(7−3)/(7−1)=\(\frac{2}{3}\). x_A=3, x_B=5. AB=2.
Ответ: 2.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.
2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.
3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.
Ответ: 3.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}x^2+y=5,\\6x^2-y=2.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сложим оба уравнения, чтобы \(y\) сократился.
Шаг 1. Складываем уравнения:
\((x^2+y)+(6x^2-y)=5+2\Rightarrow 7x^2=7\).
Шаг 2. Отсюда \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\) из первого уравнения:
\(y=5-x^2=5-1=4\) (одинаково для обоих \(x\)).
Ответ: \((-1;\,4);\ (1;\,4)\).
Правильный ответ: (-1;4);(1;4)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а вторую — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/60 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/90 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/60 + S/90) = 2 / (\(\frac{1}{60}\) + \(\frac{1}{90}\)).
Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·60·90 / (60 + 90) = 10800 / 150 = 72 км/ч.
Ответ: 72.
Правильный ответ: 72
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| + 8\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x + 8.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x + 8.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 8.
Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катеты прямоугольного треугольника равны 32 и 60. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.
Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(32² + 60²) = √4624 = 68.
Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 32·\(\frac{60}{2}\) = 960.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 68·h/2.
Шаг 4. Приравниваем: 68·h/2 = 960 ⟹ h = 32·\(\frac{60}{68}\) = 480/17.
Ответ: 480/17.
Правильный ответ: 480/17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.
Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.
Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 81, MD = 9, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.
Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.
Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).
Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?
Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).
Шаг 3. AM = AD − MD = 81 − 9 = 72.
AM² = 5184.
AH = AM² / AD = 5184 / 81 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).
Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 81 − \(\frac{81}{81}\) = 80.
Ответ: 80.
Правильный ответ: 80
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.