Загрузка заданий...

Вариант 3062 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	148	105
4	297	210

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна $\frac{1}{32}$ м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь листа A1 равна половине площади A0: $\frac{1}{2}$ м². Масса одного листа: 120 · $\frac{1}{2}$ = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Получили дробь $\frac{1}{2}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,5$.

Ответ: $0,5$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами -4,575 и $\frac{89}{20}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

0,71

$2\sqrt{5}$

4,85

4,88

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа -4,575 и $\frac{89}{20}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (0,71) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√3 - 2)(√3 + 2).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√3)² - 2² = 3 - 4 = -1.

Ответ: -1.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 14x + 49 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² - 14x + 49 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -14, c = 49.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -14² - 4·1·49 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = 14 / 2 = 7

Ответ: 7

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,4.

Ответ: 0,4

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = -\dfrac{1}{2}x + 2$

2) $y = -3x + 3$

3) $y = x$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 312.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,6 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим V = 0,6 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,6 = 5 880.

Ответ: 5 880.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 5)(x - 2) < 0

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -5 и x = 2. На числовой прямой отмечаем точки -5 и 2 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 5)(x - 2) < 0 получаем решение (-5;2). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -9° C.

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Температура уменьшается равномерно на 5° C в минуту.

Через 4 минут изменение составит 5·4 = 20° C.

Итоговая температура: -9 - 20 = -29.

Ответ: -29.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Биссектриса равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 11√3.

Отсюда a / 2 = 11, значит a = 22.

Ответ: 22.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 18√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Для квадрата R = a√2 / 2.

Значит, a = R·√2 = 18√2 · √2 = 36.

Ответ: 36.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание равно 12 + 3 = 15.

S = 15 · 5 = 75.

Ответ: 75.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 12 и 4.

Искомое отношение площадей равно (12 / 4)² = 9.

Ответ: 9.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x+4)^4+6(x+4)^2-7=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x+4)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+6t-7=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+7)(t-1)=0$.

Корни: $t_1=-7$, $t_2=1$.

Шаг 3. Берём только $t=1$.

Шаг 4. Решаем $(x+4)^2=1$:

$x+4=\pm1\Rightarrow x=-3$ или $x=-5$.

Ответ: $-5;\quad -3$.

Правильный ответ: -5;-3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 100 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 15) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 100/(x−15) мин, второй — 100/x мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 6 мин дольше:

100/(x−15) − 100/x = 6.

Шаг 4. Умножаем на x(x−15):

100·x − 100·(x−15) = 6·x·(x−15).

1500 = 6·x² − 90·x.

6x² − 90x − 1500 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 90² + 4·6·1500 = 8100 + 36000 = 44100, √D = 210.

x = (90 + 210) / (2·6) = 25 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 100/10 = 10 мин, вторая — 100/25 = 4 мин.

10 − 4 = 6 = 6. ✓

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+6,25)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+6,25,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-5; 5; 7,25 $.

Ответ: $ -5; 5; 7,25 $.

Правильный ответ: -5; 5; 7,25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 40, CD = 42, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 21.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 21, полухорда = AB/2 = 20.

R² = 21² + 20² = 441 + 400 = 841. R = 29.

Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 21.

d² = R² − 21² = 841 − 441 = 400. d = 20.

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB и равны по условию.

По обратной теореме о вписанном угле точки A, B, C, D лежат на одной окружности.

Шаг 2. В этой окружности углы BCA и BDA опираются на одну хорду BA.

Вписанные углы на одну хорду равны ⟹ ∠BCA = ∠BDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 90, MD = 69, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.

Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.

Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?

Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).

Шаг 3. AM = AD − MD = 90 − 69 = 21.

AM² = 441.

AH = AM² / AD = 441 / 90 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).

Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 90 − 4761/90 = 37,1.

Ответ: 37,1.

Правильный ответ: 37,1

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.