Загрузка заданий...

Вариант 3103 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,7 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	кухня	гостиная
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 5, кладовая — 2, кухня — 6, гостиная — 3.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, кухня, гостиная.

Следовательно, ответ: 5263.

Ответ: 5263

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 70 см продаётся в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в спальне?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По плану площадь покрытия спальни составляет 88 клеток.

Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м, поэтому площадь равна 88 · 0,49 = 43,12 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,7 = 0,14 кв. м.

Нужно элементов: 43,12 / 0,14 = 308.

В одной упаковке 10 штук, значит понадобится 31 упаковка.

Ответ: 31.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь большей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

По плану площадь нужного помещения составляет 33 клетки.

Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м.

Значит, площадь равна 33 · 0,49 = 16,17 кв. м.

Ответ: 16,17.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кухни?

Решение

Разбор: Задание 4 →

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 72 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 72) / 72) · 100% = 100%.

Ответ: 100.

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «600»	650 руб. за 600 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб
План «900»	820 руб. за 900 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб
План «Безлимитный»	930 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 700 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 700 Мб?

Решение

Разбор: Задание 5 →

Считаем стоимость интернета при трафике 700 Мб:

План «600»: 650 + 100 · 2 = 850 руб.

План «900»: 820 руб.

План «Безлимитный»: 930 руб.

Самым дешёвым оказывается План «900»: 820 руб.

Ответ: 820.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,2 - \frac{1}{8} + 0,125$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,2 - \frac{1}{8} + 0,125$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,2) - \frac{1}{8} = 0,075$.

Шаг 2: $(0,075) + 0,125 = 0,2$.

Получили результат $0,2$.

Ответ: $0,2$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

7 - a > 0

$\frac{1}{a} < 0$

a - 6 < 0

a - 7 > 0

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 6 < a < 7.

Проверим варианты ответа:

1) 7 - a > 0 ⇔ a < 7 — верно.

2) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

3) a - 6 < 0 ⇔ a < 6 — неверно.

4) a - 7 > 0 ⇔ a > 7 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{12} - 4)(\sqrt{12} + 4)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√12 - 4)(√12 + 4).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√12)² - 4² = 12 - 16 = -4.

Ответ: -4.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 18x + 81 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² - 18x + 81 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -18, c = 81.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -18² - 4·1·81 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = 18 / 2 = 9

Ответ: 9

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.2 и 0.8: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.1, по нижнему 0.6.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.2 · 0.1 = 0.02.

Нижний путь: 0.8 · 0.6 = 0.48.

Складываем: 0.02 + 0.48 = 0.5.

Ответ: 0,5

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = \dfrac{1}{x}$

Б) $y = \dfrac{5}{3}x - 1$

В) $y = -x^2 + 2x + 3$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 9,5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 126,35 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 126,35/(9,5²) = 1,4.

Ответ: 1,4.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x + 0,7 > -1,1 \\ -1,5 − 3x \geqslant -8,7 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-1,8;2,4]. Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 32 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 32 минут пройдёт 4 промежутков по 8 минут.

Тогда масса станет равна 400·($\frac{1}{2}$)^4 = 25 мг.

Ответ: 25.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Высота равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 12√3.

Отсюда a / 2 = 12, значит a = 24.

Ответ: 24.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 8√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 8√2 = 16√2.

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 16√2 · √2 = 32.

Ответ: 32.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона ромба равна 14, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.

sin 150° = $\frac{1}{2}$.

h = 14 · $\frac{1}{2}$ = 7.

Ответ: 7.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 5 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

Ответ: 13.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.

3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

Ответ: 12.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-4)^2<\sqrt{6}(x-4)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-4)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-4)^2-\sqrt{6}(x-4)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-4)\bigl[(x-4)-\sqrt{6}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=4$ и $x=4+\sqrt{6}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(4;\; 4+\sqrt{6})$.

Правильный ответ: (4;4+√6)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 54 км/ч, а вторую — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.

Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/54 ч.

Шаг 2. Время на второй половине: S/90 ч.

Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/54 + S/90) = 2 / ($\frac{1}{54}$ + $\frac{1}{90}$).

Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·54·90 / (54 + 90) = 9720 / 144 = 67,5 км/ч.

Ответ: 67,5.

Правильный ответ: 67,5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-6x+11,& x\ge 2,\\x+3,& x<2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {2}∪(3;5).

Ответ: {2}∪(3;5).

Правильный ответ: {2}∪(3;5)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 47, BC = 20, CF : DF = 5 : 4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 5:4 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 5:4 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (4·20 + 5·47) / (5+4).

Шаг 3. EF = (80 + 235) / 9 = 315 / 9 = 35.

Ответ: 35.

Правильный ответ: 35

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.

Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 4, BC = 2.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.

Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.

BE — касательная: BE² = степень точки B.

Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).

Степень точки B: BE² = BC · BD.

Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 4 (вертикальная хорда).

BE² = BC · BD = 2 · 4 = 8.

BE = √8 = 2√2.

Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 2√2.

Ответ: 2√2.

Правильный ответ: 2√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.