Загрузка заданий...
Вариант 3178 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 210 | 148 |
| 2 | 594 | 420 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 420 | 297 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A5 равна \(\frac{1}{32}\) м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{8}{5} : \frac{3}{8} + \frac{4}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{8}{5} : \frac{3}{8} + \frac{4}{3}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{8}{5}) : \frac{3}{8} = \frac{64}{15}\).
Шаг 2: \((\frac{64}{15}) + \frac{4}{3} = \frac{28}{5}\).
Получили дробь \(\frac{28}{5}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(5,6\).
Ответ: \(5,6\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что 6 < a < 7.
Проверим варианты ответа:
1) a - 6 < 0 ⇔ a < 6 — неверно.
2) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
3) a - 6 > 0 ⇔ a > 6 — верно.
4) a > 7 ⇔ a > 7 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{150} + \sqrt{54})\sqrt{6}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√150 + √54)·√6.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √150 = 5√6, √54 = 3√6.
Тогда получаем (5√6 + 3√6)·√6 = 8√6·√6.
Так как √6·√6 = 6, имеем 8·6 = 48.
Ответ: 48.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 5 + 2(8x + 7) = -12x + 159
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 5 + 2(8x + 7) = -12x + 159
Раскроем скобки:
5 + 2(8x + 7) = -12x + 159
5 + 16x + 14 = -12x + 159
Приведём подобные слагаемые в левой части:
16x + 19 = -12x + 159
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
28x = 140
Разделим обе части на 28:
x = 140 / 28
x = 5
Ответ: 5
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 2 чёрных, 12 жёлтых и 16 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 30.
Благоприятных исходов: 12 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{12}{30}\) = 0,4.
Ответ: 0,4.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 132.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,08 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим V = 0,08 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,08 = 784.
Ответ: 784.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-2x - 6 ≥ -7x - 1
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -2x - 6 >= -7x - 1.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 5x >= 5.
Делим обе части на 5: x >= 1.
Значит, x больше или равно 1.
Этому соответствует промежуток [1;+∞).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 23 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 42 мест, а в десятом ряду 51 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Ряды образуют арифметическую прогрессию.
Разность прогрессии: d = (51 - 42) / (10 - 7) = 3.
Тогда первый ряд: a₁ = a7 - (7 - 1)·d = 42 - 6·3 = 24.
Последний ряд: a23 = a₁ + (23 - 1)·d = 24 + 22·3 = 90.
Ответ: 90.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = 20, BC = 7, sin ∠ABC = 2/5. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
S = \(\frac{1}{2}\) · AB · BC · sin∠ABC.
S = \(\frac{1}{2}\) · 20 · 7 · \(\frac{2}{5}\) = 280/10 = 28.
Ответ: 28.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 132°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.
Следовательно, ∠CBD = 83°.
Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 132° - 83° = 49°.
Ответ: 49.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 32°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.
Следовательно, острый угол равен 2 · 32° = 64°.
Ответ: 64.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 8 и 4.
Искомое отношение площадей равно (8 / 4)² = 4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно.
2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.
3) Верно.
Ответ: 13.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}2x^2+y=4,\\4x^2-y=2.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения, чтобы сократить \(y\).
Шаг 1. Складываем:
\((2x^2+y)+(4x^2-y)=4+2\Rightarrow 6x^2=6\).
Шаг 2. Отсюда \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\) из первого уравнения:
\(y=4-2x^2=4-2=2\).
Ответ: \((-1;\,2);\ (1;\,2)\).
Правильный ответ: (-1;2);(1;2)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные — 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 30% воды, значит сухого вещества 70%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 72 кг сухих фруктов:
72 · 70/100 = 50,4 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 88% воды, значит сухого вещества 12%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,12·x = 50,4.
x = 50,4 / 0,12 = 420 кг.
Ответ: 420.
Правильный ответ: 420
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 4|x| + 7\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 4x + 7.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 4x + 7.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 7. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 7.
Проверка: при m = 7 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: 7.
Правильный ответ: 7
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 14 и 50. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.
Шаг 1. Второй катет: √(50² − 14²) = √2304 = 48.
Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 14·\(\frac{48}{2}\) = 336.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу 50 и высоту h к ней: S = 50·h/2.
Шаг 4. Из равенства площадей: h = 14·\(\frac{48}{50}\) = 13,44.
Ответ: 13,44.
Правильный ответ: 13,44
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причём точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. PK = PL (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка P равноудалена от K и L
⟹ P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку KL.
Шаг 2. QK = QL (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка Q тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая PQ совпадает с серединным перпендикуляром к KL.
Следовательно, PQ ⟂ KL. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 20.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 20² = 400, AD·BC = 49·21 = 1029.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
Вычисление: R = 25.
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.