Загрузка заданий...

Вариант 3202 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,8 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	санузел	спальня	гостиная
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 4, санузел — 7, спальня — 5, гостиная — 8.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, санузел, спальня, гостиная.

Следовательно, ответ: 4758.

Ответ: 4758

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 60 см продаётся в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в кладовой?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По плану площадь покрытия кладовой составляет 24 клетки.

Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м, поэтому площадь равна 24 · 0,64 = 15,36 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,6 = 0,12 кв. м.

Нужно элементов: 15,36 / 0,12 = 128.

В одной упаковке 10 штук, значит понадобится 13 упаковок.

Ответ: 13.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь гостиной. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

По плану площадь нужного помещения составляет 154 клетки.

Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м.

Значит, площадь равна 154 · 0,64 = 98,56 кв. м.

Ответ: 98,56.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь санузла больше площади кладовой?

Решение

Разбор: Задание 4 →

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 36 клеток, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((36 − 24) / 24) · 100% = 50%.

Ответ: 50.

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «600»	650 руб. за 600 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб
План «900»	820 руб. за 900 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб
План «Безлимитный»	950 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 1000 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 1000 Мб?

Решение

Разбор: Задание 5 →

Считаем стоимость интернета при трафике 1000 Мб:

План «600»: 650 + 400 · 2 = 1 450 руб.

План «900»: 820 + 100 · 1,5 = 970 руб.

План «Безлимитный»: 950 руб.

Самым дешёвым оказывается План «Безлимитный»: 950 руб.

Ответ: 950.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{8}) \cdot \frac{4}{7} = \frac{3}{14}$.

Шаг 2: $(\frac{3}{14}) \cdot \frac{7}{5} = \frac{3}{10}$.

Получили дробь $\frac{3}{10}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,3$.

Ответ: $0,3$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Укажите число, которое больше -4,5, но меньше $-\frac{15}{8}$.
В ответе укажите номер правильного варианта.

-1,25

-1,44

-1,98

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа -4,5 и $-\frac{15}{8}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (-1,98) лежит между этими числами.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√6 - 2)(√6 + 2).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√6)² - 2² = 6 - 4 = 2.

Ответ: 2.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(-9x + 1)}{5} - \frac{(-2x - 9)}{5} + x = 0$$

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: (-9x + 1)/5 - (-2x - 9)/5 + x = 0

Домножим обе части на НОК знаменателей 5 и 5, то есть на 5.

Получим:

(-9x + 1) - (-2x - 9) + 5x = 0

Приведём подобные слагаемые:

-2x + 10 = 0

Перенесём число в правую часть:

-2x = -10

Разделим обе части на -2:

x = -10 / -2

x = 5

Ответ: 5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,4.

Ответ: 0,4

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c < 0

2) a < 0, c > 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 20 колец.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим n = 20 в формулу C = 6000 + 4100n.

C = 6000 + 4100·20 = 88000.

Ответ: 88 000.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 6)(x - 7) < 0

[7;+∞)

(-6;7)

(-∞;-6)

[-6;7]

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -6 и x = 7. На числовой прямой отмечаем точки -6 и 7 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 6)(x - 7) < 0 получаем решение (-6;7). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 30 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 30 минут пройдёт 5 промежутков по 6 минут.

Тогда масса станет равна 200·($\frac{1}{2}$)^5 = 6,25 мг.

Ответ: 6,25.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 55°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Другой острый угол равен 90° - 55° = 35°.

Ответ: 35.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 138°, угол CAD равен 70°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.

Следовательно, ∠CBD = 70°.

Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.

Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 138° - 70° = 68°.

Ответ: 68.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 12, AB = 14. Найдите AC.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Значит, BD = 2·BO = 2·12 = 24.

Так как AC = BD, получаем:

AC = 24.

Ответ: 24.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 5 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

Ответ: 13.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Верно: диагонали любого параллелограмма, а значит и ромба, делятся пополам.

3) Неверно: такие прямые параллельны.

Ответ: 2.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}-3=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x}$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+2t-3=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+3)(t-1)=0$.

Корни: $t_1=-3$, $t_2=1$.

Шаг 3. Обратная замена:

Если $t=-3$: $x=-\dfrac{1}{3}$.

Если $t=1$: $x=1$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne0$ — оба корня подходят.

Ответ: $-\dfrac{1}{3};\quad 1$.

Правильный ответ: -1/3;1

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 6 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.

Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 5) км/ч.

Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 3 км.

Длина круга = x + 3 км.

Шаг 3. Второй пробежал круг 6 мин назад, то есть за (1 − $\frac{6}{60}$) = 0,9 ч.

Длина круга = (x + 5) · 0,9 км.

Шаг 4. Приравниваем: x + 3 = (x + 5) · 0,9.

Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 15 км/ч.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| - 3\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x - 3.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x - 3.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -3. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -3.

Проверка: при m = -3 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: -3.

Правильный ответ: -3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 5, AC = 13.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.

Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).

Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).

AB² + r² = AO² = (AC − r)².

5² + r² = (13 − r)².

25 + r² = 169 − 26r + r².

26r = 169 − 25 = 144.

r = 144/26 = 5.53846.

Шаг 3. D = 2r = 144/13 = 11,0769.

Ответ: 11,0769.

Правильный ответ: 11,0769

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы ABD и ACD опираются на хорду AD и равны по условию.

По обратной теореме о вписанном угле ABCD — вписанный четырёхугольник.

Шаг 2. Углы DAC и DBC опираются на хорду DC.

Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.

Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.

По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.

⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.

Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).

α + β = 60°.

Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.

AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.

Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).

При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.

AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).

Шаг 5. 25² + 16² + 25·16 = 3R².

1281 = 3R² ⟹ R² = 1281/3.

R = √427.

Ответ: √427.

Правильный ответ: √427

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.