Загрузка заданий...
Вариант 3233 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 297 | 210 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна \(\frac{1}{32}\) м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A1 равна половине площади A0: \(\frac{1}{2}\) м². Масса одного листа: 120 · \(\frac{1}{2}\) = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} + \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{1} + \frac{1}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{1}) + \frac{1}{1} = \frac{2}{1}\).
Получили дробь 2.
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2\).
Ответ: \(2\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что -9 < a < -8.
Проверим варианты ответа:
1) -a > 9 ⇔ a < -9 — неверно.
2) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
3) -a < 8 ⇔ a > -8 — неверно.
4) -9 - a < 0 ⇔ a > -9 — верно.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(6\sqrt{2})^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (6√2)².
Используем свойство степени произведения: (6√2)² = 6² · (√2)².
Получаем 36 · 2 = 72.
Ответ: 72.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{7}{x + 2} = -7$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: 7/(x + 2) = -7
Область допустимых значений: x != -2.
Умножим обе части уравнения на x + 2:
7 = -7(x + 2)
Раскроем скобки:
7 = -7x - 14
Перенесём число в левую часть:
21 = -7x
x = 21 / -7
x = -3
Проверка ОДЗ: x = -3, x != -2, условие выполняется.
Ответ: -3
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 95 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 200.
Благоприятных исходов: 105 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 105/200 = 0,525.
Ответ: 0,525.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) \(y = -2x + 3\)
2) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 2\)
3) \(y = \dfrac{1}{2}x - 4\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 123.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 40 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 7 840 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 7 840/(9,8·40) = 20.
Ответ: 20.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 4)(x - 5) > 0
1
2
3
4
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -4 и x = 5. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 5 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 5) > 0 получаем решение (-∞;-4) ∪ (5;+∞). Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 12 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые четыре секунд?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 12, d = 10, n = 4.
Сумма первых 4 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4(2·12 + 3·10)/2 = 108.
Ответ: 108.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 124°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Так как AB = BC, треугольник равнобедренный, а углы при основании равны.
Сумма углов при основании равна 180° - 124° = 56°.
Каждый из них равен 56° : 2 = 28°.
Ответ: 28.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 62°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
∠C = 180° - 62° = 118°.
Ответ: 118.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.
Следовательно, угол A равен 25° + 30° = 55°.
Больший угол параллелограмма равен 180° - 55° = 125°.
Ответ: 125.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 6 и 8.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Ответ: 10.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно: это формула площади параллелограмма, частный случай — ромб.
2) Неверно.
3) Верно: иначе сумма трёх углов была бы больше 180°.
Ответ: 13.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(37a-19b+38\), если \(\dfrac{3a-5b+5}{5a-3b+5}=8\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(37a-19b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(3a-5b+5 = 8(5a-3b+5)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(3a-5b+5 = 40a-24b+40\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 37a-19b+35\), откуда \(37a-19b = -35\).
Шаг 4. Вычисляем: \(37a-19b+38 = -35+38 = 3\).
Ответ: 3.
Правильный ответ: 3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два велосипедиста одновременно отправляются в 209-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 8 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 8 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения.
Шаг 1. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 8) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 8 ч раньше:
209/x − 209/(x+8) = 8.
Шаг 3. Умножаем на x·(x+8):
209·8 = 8·x·(x+8).
Шаг 4. Квадратное уравнение: 8x² + 64x − 1672 = 0.
Шаг 5. D = 57600, √D = 240.
x = (−64 + 240) / (2·8) = 11 (скорость второго).
Ответ: 11.
Правильный ответ: 11
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2+2x+1,& x\ge -2,\\x+6,& x<-2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {0}∪(1;4).
Ответ: {0}∪(1;4).
Правильный ответ: {0}∪(1;4)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 9, AC = 18, NC = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = \(\frac{9}{18}\) = \(\frac{1}{2}\).
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{1}{2}\), то есть BN = 1·BC/2.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 10.
Подставляем: BN = 1·(BN + 10)/2.
2·BN = 1·BN + 1·10.
(2−1)·BN = 10 ⟹ BN = 10/(2−1) = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.
Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.
BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.
S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).
Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△APD) (общую часть):
S(△APB) = S(△CPD). ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 8.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.
Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.
Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.
В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.
Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:
dist(K, AB) = dist(K, AD) = 8.
Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:
dist(K, AB) = dist(K, BC) = 8.
Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:
dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 8 + 8 = 16.
Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 19 · 16 = 304.
Ответ: 304.
Правильный ответ: 304
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.