Загрузка заданий...

Вариант 3312 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	210	148
2	594	420
3	148	105
4	420	297

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь листа A5 равна $\frac{1}{32}$ м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{4} : \frac{2}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{4} : \frac{2}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{4}) : \frac{2}{1} = \frac{1}{8}$.

Получили дробь $\frac{1}{8}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,125$.

Ответ: $0,125$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a < -8

$\frac{1}{a} > 0$

a + 7 > 0

-8 - a < 0

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что -8 < a < -7.

Проверим варианты ответа:

1) a < -8 ⇔ a < -8 — неверно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) a + 7 > 0 ⇔ a > -7 — неверно.

4) -8 - a < 0 ⇔ a > -8 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(3\sqrt{6})^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (3√6)².

Используем свойство степени произведения: (3√6)² = 3² · (√6)².

Получаем 9 · 6 = 54.

Ответ: 54.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -2x + 4y = -12 \\ -7x - 7y = 84 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

-2x + 4y = -12

-7x - 7y = 84

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -7, а второе — на -2.

Получим:

$(-2x + 4y = -12) \cdot -7$: 14x - 28y = 84

$(-7x - 7y = 84) \cdot -2$: 14x + 14y = -168

Вычтем второе уравнение из первого:

-42y = 252

y = 252 / -42 = -6

Подставим y = -6 в первое уравнение:

-2x + 4y = -12

Получаем x = -6.

Ответ: (-6;-6)

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.6 и 0.4: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.25, по нижнему 0.4.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.6 · 0.25 = 0.15.

Нижний путь: 0.4 · 0.4 = 0.16.

Складываем: 0.15 + 0.16 = 0.31.

Ответ: 0,31

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = -\dfrac{6}{x}$

Б) $y = -3x^2 + 9x - 4$

В) $y = \dfrac{2}{3}x - 5$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 25 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_C = 25 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(25) + 32 = 77.

Ответ: 77.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 9)(x - 5) > 0

(-∞;-9)

(-9;5)

(-∞;-9] ∪ [5;+∞)

(-∞;-9) ∪ (5;+∞)

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -9 и x = 5. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 5 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 5) > 0 получаем решение (-∞;-9) ∪ (5;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 23 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 23 мест, а в десятом ряду 33 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (33 - 23) / (10 - 5) = 2.

Тогда первый ряд: a₁ = a5 - (5 - 1)·d = 23 - 4·2 = 15.

Последний ряд: a23 = a₁ + (23 - 1)·d = 15 + 22·2 = 59.

Ответ: 59.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 12 · 33 = 396/2 = 198.

Ответ: 198.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 132°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.

Следовательно, ∠CBD = 83°.

Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.

Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 132° - 83° = 49°.

Ответ: 49.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 12, BD = 20, AB = 7. Найдите DO.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, DO = BD / 2 = 20 / 2 = 10.

Ответ: 10.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 6 и 3.

Искомое отношение площадей равно (6 / 3)² = 4.

Ответ: 4.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}6x^2+y=14,\\12x^2-y=4.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения.

Шаг 1. Складываем:

$(6x^2+y)+(12x^2-y)=14+4\Rightarrow 18x^2=18$.

Шаг 2. $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=14-6x^2=14-6=8$.

Ответ: $(-1;\,8);\ (1;\,8)$.

Правильный ответ: (-1;8);(1;8)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 34 км/ч, а вторую — со скоростью 51 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.

Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/34 ч.

Шаг 2. Время на второй половине: S/51 ч.

Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/34 + S/51) = 2 / ($\frac{1}{34}$ + $\frac{1}{51}$).

Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·34·51 / (34 + 51) = 3468 / 85 = 40,8 км/ч.

Ответ: 40,8.

Правильный ответ: 40,8

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+0,25)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+0,25,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-1; 1; 1,25 $.

Ответ: $ -1; 1; 1,25 $.

Правильный ответ: -1; 1; 1,25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 16 и 12.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. По хорде AB: R² = 16² + (AB/2)² = 16² + 12² = 400. R = 20.

Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 12 от центра:

(CD/2)² = R² − 12² = 400 − 144 = 256.

CD/2 = 16.

Шаг 3. CD = 2 · 16 = 32.

Ответ: 32.

Правильный ответ: 32

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы ABD и ACD опираются на хорду AD и равны по условию.

По обратной теореме о вписанном угле ABCD — вписанный четырёхугольник.

Шаг 2. Углы DAC и DBC опираются на хорду DC.

Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 15, MD = 12, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.

Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.

Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?

Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).

Шаг 3. AM = AD − MD = 15 − 12 = 3.

AM² = 9.

AH = AM² / AD = 9 / 15 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).

Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 15 − 144/15 = 5,4.

Ответ: 5,4.

Правильный ответ: 5,4

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.