Загрузка заданий...
Вариант 3343 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A1, A2 и A4.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A1, A2, A4.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 841 | 594 |
| 2 | 1189 | 841 |
| 3 | 297 | 210 |
| 4 | 594 | 420 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A0 — 1189 × 841 мм, это №2. A1 — 841 × 594 мм, это №1. A2 — 594 × 420 мм, это №4. A4 — 297 × 210 мм, это №3. Ответ: 2143.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A2?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Из A2 получают два листа A3, а из каждого A3 — два листа A4. Всего 2 · 2 = 4 листа A4. Ответ: 4.
3
Задание 3
1 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A0 имеет размеры примерно 1189 × 841 мм. Ширина равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
4
Задание 4
1 балл
Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата A4 к большей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Размер A4: 297 × 210 мм. Отношение меньшей стороны к большей: 210 : 297 ≈ 0,707. Округляем до десятых: 0,7. Ответ: 0,7.
5
Задание 5
1 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
При переходе от A4 к A3 линейные размеры увеличиваются примерно в √2 раза. Поэтому размер шрифта: 15 · √2 ≈ 21,2. Округляем до целого: 21. Ответ: 21.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{5} : \frac{1}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{5} : \frac{1}{4}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{7}{4}) \cdot \frac{1}{5} = \frac{7}{20}\).
Шаг 2: \((\frac{7}{20}) : \frac{1}{4} = \frac{7}{5}\).
Получили дробь \(\frac{7}{5}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(1,4\).
Ответ: \(1,4\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -2,05 до -1?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа -2,05 и -1. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (-1,375) лежит между этими числами.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$5^{-3} \cdot (5^2)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 5^(-3) · (5^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (5^2)^2 = 5^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 5^-3 · 5^4 = 5^1.
Получаем 5^1 = 5.
Ответ: 5.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-3}{x + 7} = -3$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: -3/(x + 7) = -3
Область допустимых значений: x != -7.
Умножим обе части уравнения на x + 7:
-3 = -3(x + 7)
Раскроем скобки:
-3 = -3x - 21
Перенесём число в левую часть:
18 = -3x
x = 18 / -3
x = -6
Проверка ОДЗ: x = -6, x != -7, условие выполняется.
Ответ: -6
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Олег не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 47 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{47}{50}\) = 0,94.
Ответ: 0,94.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -\dfrac{6}{x}\)
Б) \(y = \dfrac{2}{3}x - 5\)
В) \(y = -3x^2 + 9x - 4\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d1d2sinα / 2, где d1 и d2 – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d2, если d1 = 7, sinα = 0,231, а S = 12,115.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).
d₂ = 2·12,115/(7·0,231) = 15.
Ответ: 15.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
5x + 6 > 8x + 9
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: 5x + 6 > 8x + 9.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -3x < 3.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -3: x < -1.
Значит, x меньше -1.
Этому соответствует промежуток (-∞;-1).
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 28 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 28 минут пройдёт 4 промежутков по 7 минут.
Тогда масса станет равна 200·(\(\frac{1}{2}\))^4 = 12,5 мг.
Ответ: 12,5.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 11 и 6. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = \(\frac{1}{2}\) · 11 · 6 = \(\frac{66}{2}\) = 33.
Ответ: 33.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 12, BC = 8, CD = 23. Найдите AD.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.
То есть AB + CD = BC + AD.
AD = AB + CD - BC = 12 + 23 - 8 = 27.
Ответ: 27.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Периметр ромба равен 28, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Сторона ромба равна 28 / 4 = 7.
Площадь ромба равна a²·sin α.
S = 7² · sin 30° = 7² · \(\frac{1}{2}\) = 24,5.
Ответ: 24,5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 8 и 6.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.
Ответ: 10.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3x^2-4x=y,\\3x-4=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: приравниваем правые части.
Шаг 1. \(3x^2-4x=3x-4\).
Шаг 2. Переносим влево: \(3x^2-7x+4=0\).
Шаг 3. Разложим: \((3x-4)(x-1)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{4}{3}\) или \(x=1\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{4}{3}\): \(y=3\cdot\dfrac{4}{3}-4=0\).
При \(x=1\): \(y=3-4=-1\).
Ответ: \(\left(\dfrac{4}{3};\,0\right);\ (1;\,-1)\).
Правильный ответ: (4/3;0);(1;-1)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 112 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 9) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: вторым — 112/x ч, первым — 112/(x+9) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:
112/x − 112/(x+9) = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x+9):
112·(x+9) − 112·x = 4·x·(x+9).
1008 = 4·x² + 36·x.
4x² + 36x − 1008 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1008 = 1296 + 16128 = 17424, √D = 132.
x = (−36 + 132) / (2·4) = 12 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: второй — 112/12 = \(\frac{28}{3}\) ч, первый — 112/21 = \(\frac{16}{3}\) ч.
\(\frac{28}{3}\) − \(\frac{16}{3}\) = 4 = 4. ✓
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+1)((x+2))}{-2-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+1,\ x\ne -2 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-2 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-2; 2; 2,5 \).
Ответ: \( -2; 2; 2,5 \).
Правильный ответ: -2; 2; 2,5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8,4, а AB = 4.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.
Шаг 1. Из условия задачи D = 8,4, AB = 4.
Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².
AC² − 8,4·AC − 4² = 0.
Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 8,4·AC − 16 = 0.
Положительный корень: AC = 10.
Проверка: D = (10² − 4²)/10 = \(\frac{84}{10}\) = 8,4. ✓
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.
Шаг 1. Углы BCA и BDA равны по условию и опираются на хорду BA.
По обратной теореме четырёхугольник ABCD вписанный.
Шаг 2. Углы ABD и ACD опираются на хорду AD.
Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 34 и CD = 22 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.
Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.
По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.
⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.
Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).
α + β = 60°.
Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.
AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.
Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).
При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.
AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).
Шаг 5. 34² + 22² + 34·22 = 3R².
2388 = 3R² ⟹ R² = 2388/3.
R = 2√199.
Ответ: 2√199.
Правильный ответ: 2√199
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.