Загрузка заданий...

Вариант 3345 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	1189	841
4	210	148

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.

3 Задание 3 1 балл

Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.

4 Задание 4 1 балл

Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.

5 Задание 5 1 балл

Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} \cdot 0,25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{2} \cdot 0,25$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{2}) \cdot 0,25 = 0,125$.

Получили результат $0,125$.

Ответ: $0,125$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами -4,5 и $-\frac{83}{25}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-3,75

$2\sqrt{5}$

-1,26

3,3

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа -4,5 и $-\frac{83}{25}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (-3,75) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{360} + \sqrt{10})\sqrt{10}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√360 + √10)·√10.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √360 = 6√10, √10 = 1√10.

Тогда получаем (6√10 + 1√10)·√10 = 7√10·√10.

Так как √10·√10 = 10, имеем 7·10 = 70.

Ответ: 70.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 4x + y = -38 \\ x + y = -11 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

4x + y = -38

x + y = -11

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 1, а второе — на 4.

Получим:

$(4x + y = -38) \cdot 1$: 4x + 1y = -38

$(x + y = -11) \cdot 4$: 4x + 4y = -44

Вычтем второе уравнение из первого:

-3y = 6

y = 6 / -3 = -2

Подставим y = -2 в первое уравнение:

4x + y = -38

Получаем x = -9.

Ответ: (-9;-2)

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 11 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 100.

Благоприятных исходов: 89 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 89/100 = 0,89.

Ответ: 0,89.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = -2x^2 - 10x - 13$

Б) $y = -\dfrac{9}{x}$

В) $y = \dfrac{1}{3}x + 1$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -70 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_C = -70 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(-70) + 32 = -94.

Ответ: -94.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 3)(x - 8) ≥ 0

(8;+∞)

(-∞;-3) ∪ (8;+∞)

(-∞;-3]

(-∞;-3] ∪ [8;+∞)

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -3 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -3 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 3)(x - 8) >= 0 получаем решение (-∞;-3] ∪ [8;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 320 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 36 минут пройдёт 6 промежутков по 6 минут.

Тогда масса станет равна 320·($\frac{1}{2}$)^6 = 5 мг.

Ответ: 5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 21° и AK = CK.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.

Но ∠ACK = ∠C = 21°.

Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·21° = 42°.

Тогда ∠B = 180° - 42° - 21° = 117°.

Ответ: 117.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 47°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.

Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 47° / 2 = 23,5°.

Ответ: 23,5.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 4 и 7, а высота равна 8. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

S = (4 + 7) / 2 · 8 = 44.

Ответ: 44.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 9 и 3.

Искомое отношение площадей равно (9 / 3)² = 9.

Ответ: 9.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $14a-4b+30$, если $\dfrac{2a-4b+5}{4a-2b+5}=4$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $14a-4b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $2a-4b+5 = 4(4a-2b+5)$.

Шаг 2. Раскрываем: $2a-4b+5 = 16a-8b+20$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 14a-4b+15$, откуда $14a-4b = -15$.

Шаг 4. Вычисляем: $14a-4b+30 = -15+30 = 15$.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два автомобиля одновременно отправляются в 400-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.

Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 20) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 1 ч раньше, значит его время меньше:

400/x − 400/(x+20) = 1.

Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+20):

400·(x+20) − 400·x = 1·x·(x+20).

Шаг 4. Левая часть упрощается до 400·20 = 8000. Получаем:

1x² + 20x − 8000 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 20² + 4·1·8000 = 32400, √D = 180.

x = (−20 + 180) / (2·1) = 80 (берём положительный корень).

Шаг 6. Скорость первого: 80 + 20 = 100 км/ч.

Ответ: 100.

Правильный ответ: 100

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-10x+25,& x\ge 4,\\x-2,& x<4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪(1;2).

Ответ: {0}∪(1;2).

Правильный ответ: {0}∪(1;2)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна из диагоналей ромба равна 68. Найдите углы ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.

Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.

Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).

Шаг 2. По условию r = 17, диагональ = 68 = 4r.

Значит диагональ = 4·17, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.

Упрощая: cos(α/2) = 2·sin(α/2)·cos(α/2) ⟹ 1 = 2·sin(α/2), sin(α/2) = $\frac{1}{2}$, α/2 = 30°, α = 60°.

Шаг 3. Острый угол = 60°, тупой угол = 120°.

Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.

Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы ABD и ACD опираются на хорду AD и равны по условию.

По обратной теореме о вписанном угле ABCD — вписанный четырёхугольник.

Шаг 2. Углы DAC и DBC опираются на хорду DC.

Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 8, BC = 7.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.

Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.

BE — касательная: BE² = степень точки B.

Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).

Степень точки B: BE² = BC · BD.

Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 8 (вертикальная хорда).

BE² = BC · BD = 7 · 8 = 56.

BE = √56 = 2√2.

Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 2√2.

Ответ: 2√2.

Правильный ответ: 2√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.