Загрузка заданий...
Вариант 3362 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,4 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | спальня | кухня | гостиная |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Задание 1 →
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 1, спальня — 2, кухня — 3, гостиная — 8.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, спальня, кухня, гостиная.
Следовательно, ответ: 1238.
Ответ: 1238
2
Задание 2
1 балл
Паркетная доска размером 15 см на 60 см продаётся в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в санузле?
Решение
Разбор: Задание 2 →
По плану площадь покрытия санузла составляет 36 клеток.
Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м, поэтому площадь равна 36 · 0,16 = 5,76 кв. м.
Площадь одной доски: 0,15 · 0,6 = 0,09 кв. м.
Нужно элементов: 5,76 / 0,09 = 64.
В одной упаковке 10 штук, значит понадобится 7 упаковок.
Ответ: 7.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь меньшей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Разбор: Задание 3 →
По плану площадь нужного помещения составляет 27 клеток.
Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.
Значит, площадь равна 27 · 0,16 = 4,32 кв. м.
Ответ: 4,32.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь кухни больше площади кладовой?
Решение
Разбор: Задание 4 →
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 72 клетки, второе: 24 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 24) / 24) · 100% = 200%.
Ответ: 200.
5
Задание 5
1 балл
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| План «800» | 900 руб. за 800 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб |
| План «1000» | 1 050 руб. за 1000 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб |
| План «Безлимитный» | 1 100 руб. за неограниченное количество Мб трафика | — |
В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 850 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 850 Мб?
Решение
Разбор: Задание 5 →
Считаем стоимость интернета при трафике 850 Мб:
План «800»: 900 + 50 · 2 = 1 000 руб.
План «1000»: 1 050 руб.
План «Безлимитный»: 1 100 руб.
Самым дешёвым оказывается План «800»: 1 000 руб.
Ответ: 1 000.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{7}{4} : \frac{1}{1} + 75$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{7}{4} : \frac{1}{1} + 75\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{7}{4}) : \frac{1}{1} = 1,75\).
Шаг 2: \((1,75) + 75 = 76,75\).
Получили результат \(76,75\).
Ответ: \(76,75\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что 4 < a < 5.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
2) a < 5 ⇔ a < 5 — верно.
3) -a > -4 ⇔ a < 4 — неверно.
4) -a < -5 ⇔ a > 5 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$5^{-2} \cdot (5^3)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 5^(-2) · (5^3)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (5^3)^2 = 5^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 5^-2 · 5^6 = 5^4.
Получаем 5^4 = 625.
Ответ: 625.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -x - 7y = 13 \\ 5x + 7y = 19 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-x - 7y = 13
5x + 7y = 19
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе — на -1.
Получим:
\((-x - 7y = 13) \cdot 5\): -5x - 35y = 65
\((5x + 7y = 19) \cdot -1\): -5x - 7y = -19
Вычтем второе уравнение из первого:
-28y = 84
y = 84 / -28 = -3
Подставим y = -3 в первое уравнение:
-x - 7y = 13
Получаем x = 8.
Ответ: (8;-3)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события A.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,45.
Ответ: 0,45
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k < 0, b > 0
2) k < 0, b < 0
3) k > 0, b > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 231.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,9 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим V = 0,9 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,9 = 8 820.
Ответ: 8 820.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-3x - 9 < -7x + 9
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -3x - 9 < -7x + 9.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 4x < 18.
Делим обе части на 4: x < 4,5.
Значит, x меньше 4,5.
Этому соответствует промежуток (-∞;4,5).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 16 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в четырнадцатом ряду амфитеатра?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 20, d = 3.
Найдём 14-й член: a14 = a₁ + (14 - 1)·d = 20 + 13·3 = 59.
Ответ: 59.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 24, AB = 25. Найдите sin B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.
sin B = AC / AB = \(\frac{24}{25}\) = 0,96.
Ответ: 0,96.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 45°, AB = 6√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
По теореме синусов AB = 2R·sin C.
Следовательно, R = AB / (2 sin 45°).
Подстановка даёт R = 6.
Ответ: 6.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В ромбе ABCD угол ABC равен 146°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
В ромбе противоположные углы равны, а соседние дополняют друг друга до 180°.
Следовательно, угол C равен 180° - 146° = 34°.
Диагональ AC биссектрисой угла C.
Поэтому ∠ACD = 34° / 2 = 17°.
Ответ: 17.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=5: t=(5−1)/(7−1)=\(\frac{2}{3}\). x_A=1+\(\frac{2}{3}\)·3=3... нет, считаем по клеткам: A=(2,5), B=(6,5). AB=4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(x^2-2x+\sqrt{6-x}=\sqrt{6-x}+35\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: слагаемое \(\sqrt{6-x}\) одинаково с обеих сторон — сокращаем.
Шаг 1. Вычитаем \(\sqrt{6-x}\) из обеих частей:
\(x^2-2x=35\).
Шаг 2. Решаем:
\(x^2-2x-35=0\Rightarrow(x-7)(x+5)=0\).
Корни: \(x=7\) и \(x=-5\).
Шаг 3. ОДЗ: \(6-x\ge0\Rightarrow x\le6\).
Значение \(x=7\) не подходит. Остаётся \(x=-5\).
Ответ: \(-5\).
Правильный ответ: -5
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Расстояние между пристанями А и В равно 90 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.
Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 4 км/ч.
Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 52 км.
Время плота в пути: 52 / 4 = 13 ч.
Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:
13 − 1 = 12 ч.
Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:
90/(x+4) + 90/(x−4) = 12.
Шаг 5. Умножаем на (x+4)(x−4) и упрощаем: квадратное уравнение.
Шаг 6. Решение: x = 16.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{9}{2}\) + \(\frac{15}{2}\) = 12. ✓
Ответ: 16.
Правильный ответ: 16
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| + 5\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x + 5.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x + 5.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 5. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 5.
Проверка: при m = 5 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 24, AC = 40, NC = 16.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = \(\frac{24}{40}\) = \(\frac{3}{5}\).
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{3}{5}\), то есть BN = 3·BC/5.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 16.
Подставляем: BN = 3·(BN + 16)/5.
5·BN = 3·BN + 3·16.
(5−3)·BN = 48 ⟹ BN = 48/(5−3) = 24.
Ответ: 24.
Правильный ответ: 24
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.
Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.
Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.
Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.
Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.
Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−20, 0), D = (20, 0) (|AD| = 40).
В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.
Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (40, h). На прямой BE точка E = (0, 40 − h), так как BE = 40.
Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·\(\frac{40}{4}\) = 30.
Шаг 5. AB = √(h² + (20)²) = √(900 + 400) = 10√13;
BC = 2·AB = 20√13; CA = 30√5.
Ответ: 10√13; 20√13; 30√5.
Правильный ответ: 10√13; 20√13; 30√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.